CF908G 题解

题意

传送门

给 \(x\le10^{700}\)，问 \(1\) 到 \(x\) 中每个数在各数位排序后得到的数的和。答案模 \(10^9+7\)。

题解

学到一种新鲜的转化方式，来记一下。

将 \(x\) 的位数记为 \(n\)。一个显然的想法是算贡献，即枚举 \(d\in[0,9],i\in[1,n]\)，算 \(d\) 在 \(i\) 位上出现的次数。但尝试了一会，发现难以处理。

此时我们将数字 \(i\in[0,9]\) 拆为 \(\underbrace{\overline{11\dots1}}_i\) 的形式，并竖着写下来。那么任意一个数可以表示为不超过 \(9\) 个 \(11\dots1\) 的和的形式。例如 \(3459\) 就是：

\[\begin{aligned}
1111\\
+1111\\
+1111\\
+111\\
+11\\
+1\\
+1\\
+1\\
+1\\
\end{aligned}
\]

然后再算贡献。枚举 \(d\in[1,9],i\in[1,n]\)，那么答案加上：大于等于 \(d\) 的数字出现了恰好 \(i\) 次的数的个数 \(\times \underbrace{11\dots1}_i\)。前面部分是个简单的数位 \(\text{DP}\)。于是此题得解。