副三角形行列式转成上（下）三角形行列式为什么依次对换而不用第n行直接对换首行，第n-1行直接对换次行

副三角形行列式转成上（下）三角形行列式为什么依次对换而不用第n行直接对换首行，第n-1行直接对换次行

前言：重在记录，可能出错。

1. 简而言之，可以用第n行直接对换首行，第n-1行直接对换次行，直到行列式完全上下翻转。

但需要对n讨论奇偶。

2. 如果n是奇数，这种对换方法需要对换（变号）(n-1)/2次；如果n是偶数，则需要对换（变号）n/2次。列式，如下：

D={(-1)n2D1    ,n为偶数    ①(-1)n-12D1  ,n为奇数   ②    D1为上三角形行列式

3. 怎么统一？这里需要借用自然数的奇偶特性——奇数乘以一个自然数，结果不改变此自然数的奇偶性。

因此，我们给①式乘上一个奇数n-1，给②式乘上一个奇数n，不改变①、②式的值。列式，如下：

D={(-1)n2∙(n-1)D1    ,n为偶数   ③ (-1)n-12∙nD1            ,n为奇数   ④    D1为上三角形行列式

显然，③、④式在形式上已经统一，不再受n的奇偶性的影响，得到：

D=(-1)n(n-1)2D1=(-1)n(n-1)2a1na2,n-1⸳⸳⸳an1

4. 既然证明了这样求也行的，再说说其他的求法。

(1)、根据n阶行列式的定义——∑(-1)ta1p1a2p2⸳⸳⸳anpn  t 为p1p1⸳⸳⸳pn 排列的逆序数

类比上（下）三角形行列式值的推导，上式中不含0的项只有(-1)ta1na2,n-1⸳⸳⸳an1

t=0+1+···+(n-1)=n(n-1)/2 　　等差数列求和

因此：

D=(-1)n(n-1)2D1=(-1)n(n-1)2a1na2,n-1⸳⸳⸳an1

(2)、转换过程既然是上下翻转，那就应该是乘以一个行列式上下翻转系数：将第n行反复进行相邻对换到首行需要n-1次，再将之后的行列式第n行反复进行相邻对换到次行需要n-2次，因此副三角形行列式反转成上（下）三角形行列式需要n(n-1)/2次（每次仅允许相邻对换）。符号最终为(-1)^[n(n-1)/2]。

(3)、使用代数余子式求行列式的值，层层拆开后发现，也还是副对角线的数相乘，然后求符号的正负，这个很简单，就不细说了。