【算法】基础DP
参考资料
一、线性DP
- 如果现在在状态 i 下,它上一步可能的状态是什么。
- 上一步不同的状态依赖于什么。
根据上面的分析,分析出状态和转移方程。注意:dp
不一定只有两维或者一维,一开始设计状态时先不考虑维度。如果空间超了的话考虑滚动数组等优化,或者再重新设计状态。
可以通过哪一个条件范围小来入手设计状态。
对于边界条件:一般是考虑第一个点的特殊情况,即 \(dp_{[1]}\)。
二、背包问题
1. 01背包
模型总结:每个物品只能选一次。
思想
每件物品可以通过放或者不放来转移,所以它还依赖于之前使用的容量。设 \(dp_{[i][j]}\) 表示前 \(i\) 件物品用了 \(j\) 的容量的最大价值。不难得出:\(dp_{[i][j]}=max(dp_{[i-1][j]},dp_{[i-1][j-v[i]]+w_[i]})\)。
考虑优化维度,常用的方法是优化掉前 \(i\) 个物品的维度(对很多题目也同样适用)。设 \(dp_{[j]}\) 表示目前位置使用 \(j\) 的容量的最大价值。于是状态转移方程变成了:\(dp_{[j]}=max(dp_{[j]},dp_{[j-v[i]]}+w_{[i]})\)。
由于 \(v_{[i]}\ge 0\),所以 \(j-v_{[i]}\le j\),为了保证 \(j-v_{[i]}\) 一定是上一次 \(i-1\) 个物品的,所以我们循环 \(j\) 的时候要倒序循环。或者画出二维 DP
转移列表来理解。
代码:
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=m;j>=v[i];j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
2. 完全背包
模型总结:每个物品可以选无限次
思想
按照 01 背包的思想设计出初始状态:设 \(dp_{[i][j]}\) 表示前 \(i\) 件物品用了 \(j\) 的容量的最大价值。然后循环枚举选 \(k\) 个物品,仿照上面转移方程求出最大值。
继续考虑优化,依旧设 \(dp_{[j]}\) 表示目前位置使用 \(j\) 的容量的最大价值。但这次不能再循环 \(k\) 个物品了。我们返回去思考为什么 01 背包循环 \(j\) 要倒序循环,因为 01 背包只能选 1 个。那么如果它正序循环的话,\(dp_{[j]}\) 还有可能取到现在正在取的 \(i\) 个物品(因为 \(dp_{j-v[i]}\) 可能在这次循环中已经被更新过了),跟完全背包的模型相符。
代码
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=v[i];j<=m;j++)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
3. 多重背包
模型总结:每个物品有各自可选的最多次数 \(k\)。
思想
按照完全背包暴力的思想同样可以得到暴力解法。
时间复杂度超时的原因主要是由于循环了 \(k\) 这个维度,于是接下来需要优化这个维度。这里可以使用二进制优化,将循环枚举的 \(k\) 从 \([1,p]\) (\(p\) 是最多选的个数)变为 \(1,2,4...2^{k-1},p-2^k+1\)(\(k\) 是满足 \(p-2^k+1>0\) 的最大整数)。
现在证明 \([1,p]\) 的所有数都可以被写成上面转化后的数的和:
对于 \(S_1=[0,(2^k-1)]\) 这一区间的数:\(2^x,2^{x-1}\) 中间相差了一个 \(2^{x-1}\),如果 \([1,2^{x-1}-1]\) 中的所有数都可以被写成上面的形式,那么 \([2^{x-1},2^x]\) 中的所有数也可以满足条件,即 \([1,2^x]\) 都会满足条件。于是 \(x\) 的值追根溯源到 \(0\),此时显然 \([1,1]\) 中的所有数都会满足条件,再根据上面的递推就可以证明出来了。
对于 \(S_2=[2^k,p]\) 这一区间的数:\(p=(p-2^k+1)+2^k-1\)。由于这一区间内都是连续的,所以所有数都可以被表示为 \((p-2^k+1)+x\;(x\in S1)\)。证明完毕。
代码
for(int i=1;i<=n;i++){
int maxi;
if(v[i]==0) maxi=p[i];
else maxi=min(p[i],t/v[i]);
for(int k=1;maxi>0;k<<=1){
k=min(k,maxi);
maxi-=k;
for(int j=t;j>=v[i]*k;j--) dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]*k]+w[i]*k);
}
}
4. 其他
混合背包:只需分类讨论上述情况即可。
二维背包费用(选一个物品有两个价值):只需再多增一维按照上面来转移即可。有时另一种价值的表述方法也会变成“最多选 \(x\) 件物品”。
分组背包(每组里面最多选一件物品):对每组的 \(dp_{[j]}\) 取最大即可。
依赖背包(有些物品必需先选另一种物品后才能选):对于每一个没有依赖的背包分类讨论,只选它自己,选它自己+依赖1……等。
三、区间DP
对于有些一眼能看出来的区间DP
题一般都是拆分类/合并类的题,典型的有:P1880 合并石子。但关键要看大区间内的答案能否可以通过小区间内的答案转移而来。
将在一段大区间内进行的DP
,分解成小区间内进行的DP
,大都需要以下几个条件:
- 跨度(阶段)
- 起点(状态)
- 合并的位置(决策的位置)
比较典型的伪代码:
核心思路:先计算出小区间,再推出大区间,边界一般为区间长为 1 的时候
for 子区间长度 2 to n;
for 起点 1 to 终点不大于n
终点=起点+子区间长度-1
for 决策点 起点 to 终点-1
状态转移方程
四、状压DP
对于有多种情况可以影响答案的时候,通常选择暴力开维度来存储信息。但有时会导致维度太多而爆空间,这时候我们要将形式相同的维度压缩成一维,这就是状压DP
。
状压DP
的一大重点便是位运算,而位运算又会引申出位操作。下面是几种常见位运算及位操作的意义:
一个二进制数位 &1
得到它本身。(&
表示两个数的相同位上,只有两个都为 \(1\),最终的值才为 \(1\)。通常被看做两个集合的交集。)
一个二进制数位 ^1
则取反。(^
表示两个数的相同位上,只有值不同,最终的值才为 \(1\))
一个二进制数位 &0
则赋值为 \(0\)。
一个二进制数位 |1
则赋值为 \(1\)。(|
表示两个数的相同位上,只要有一个为 \(1\),最终值就为 \(1\))
(n>>k)&1
取出二进制下 \(n\) 的第 \(k\) 位 (从右往左)。
n&((1<<k)-1)
取出二进制下 \(n\) 的右 \(k\) 位。
n^(1<<k)
将二进制下 \(n\) 的第 \(k\) 位取反。
n|(1<<k)
将二进制下 \(n\) 的第 \(k\) 位赋值为 \(1\)。
n&(-(1<<k))
将二进制下 \(n\) 的第 \(k\) 位赋值为 \(0\)。
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