P1024 [NOI2001] 食物链【种类并查集】

题意

简化题意：给定 $n$ 和 $k(n\leqslant5\times10^4,k\leqslant10^5)$ ，表示有 $n$ 个动物， $k$ 个描述，其中：

$n$ 个动物分别属于 $A,B,C$ 中的一种，定义如 $C\to B\to A\to C$ 的环形食物链；

$k$ 个描述分两种：1.1 x y表示 $x,y$ 是同类； 2. 2 x y表示 $y\to x$ .

在 $k$ 个描述中，有真假之分，其中假的满足：

与之前的真话矛盾；

$x$ 或 $y$ 比 $n$ 大；

同类相吃。

求出假话总数。

思路

思路启发

首先进来一组 $x,y$ ，易得有且仅有三种有用的关系：

$y$ 是 $x$ 的同类。
$y\to x$ ， $y$ 是 $x$ 的猎物；
$y\to x$ ， $x$ 是 $y$ 的天敌。（其实是与关系1是相互的）

那么，我们要维护三个逻辑关系，即有联通性，又有对立性，就要开 三元种类并查集 了。

实际上就是把一个并查集扩大三倍，在每个并查集里维护联通性，即同类关系；在三个并查集之间维护对立性，即猎物和天敌关系。

实际利用

我们可以假设：（$B\to A\to C\to B$ ，满足题干关系就行）

集合$A(1\sim n)$ 为中间者；
集合$B(n+1\sim 2n)$ 为猎物；
集合$C(2n+1\sim 3n)$ 为天敌；

现在的目的就是用三个集合，依次维护正确的逻辑关系，如果有假话，那么应无法在上面成立，统计无法成立的关系即可。

不妨用图模拟个样例：

点击查看样例

$k_1:$ $1$ 和 $3$ 是同类，那么就把它俩合并到一个集合，同时注意到，都在集合$A$ 中，则分别都会在集合$B$ 和集合$C$ 中，它俩同类，那它俩的猎物和天敌必定同类。

$k_2:$ $2$ 吃 $4$ ，则有两个逻辑关系：

$4$ 是 $2$ 的猎物，此时 $2$ 是中间者，在集合$A$ ，$4$ 是猎物，在集合$B$ ，即 $4(B)\to2(A)$ ；
$2$ 是 $4$ 的天敌，此时 $4$ 是中间者，在集合$A$ ，$2$ 是天敌，在集合$C$ ，即 $4(A)\to2(C)$ ；

但我们观察 $B\to^1 A\to^2 C\to^3 B$ ，关系 $3$ 也应存在才能形成循环，即 $4(C)\to2(B)$ ；

$k_3:$ 同理。

$k_4:$ 此时 $1$ 与 $4$ 是同类的是假的。

判断同类是否为假，即判断是否存在 $1\to4$ 或 $4\to1$ 的情况，即 $4$ 的猎物是否是 $1$ 或 $4$ 的天敌是否是 $1$ 。（判断有多样，这样统一了左边的 $1$）

我们非别求一下对应点的根节点看看：

$k_5:$ 此时 $2$ 吃 $1$ 是假的。

判断吃与被吃是否为假，即判断是否存在 $2$ 与 $1$ 是同类或 $2\to1$ 的情况，即 $2$ 和 $1$ 是否在同一集合（此时三个集合显然是等效的）或 $1$ 的猎物是否是 $2$ 。

code

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=5e4+10,K=1e5+10;

int n,k,fa[3*N],cnt;

int get(int x)

{

	if(fa[x]==x) return x;

	return fa[x]=get(fa[x]);

}

void merge(int x,int y)

{

	fa[get(x)]=get(y);

}

int main()

{

	cin>>n>>k;

	for(int i=1;i<=3*n;i++) fa[i]=i;

	for(int i=1;i<=k;i++)

	{

		int op,x,y;

		cin>>op>>x>>y;

		if(x>n || y>n) { cnt++; continue; }

		if(op==1)

		{

			if(get(x)==get(y+n) || get(x)==get(y+2*n)) cnt++;

			else

			{

				merge(x,y);

				merge(x+n,y+n);

				merge(x+2*n,y+2*n);

			}

		}

		else

		{

			if(get(x)==get(y) || get(x)==get(y+n)) cnt++;

			else

			{

				merge(x,y+2*n);

				merge(x+n,y);

				merge(x+2*n,y+n);

			}

		}

	}

	cout<<cnt<<endl;

	return 0;

}

总结

种类并查集不仅可以维护联通性，也可以维护对立性。