DFT的补0运算
在实际的DFT中,如果需要增加采样的密度。这里的采样是频域的采样。可以等到更加密集的谱。
如对于信号 x = [1, 1, 1, 1]做DFT如下图:
不零后的DFT, N = 8, N= 16, N= 32
结论:补零就是将原序列后增加0,使原序列增长。使DFT有更高密度的谱,但是没有给出一个更高分辨率的谱。因为没有任何新的信息附加到这个信号上,而仅仅是在数据添加额外的0, 为了要得到更高的分辨率的谱就必须获得更多的有效数。
为了证明结论:
xn = cos(0.48pi * n) + cos(0.52pi * n), 在n = [0: 10]加90个零的频谱,和直接n= [0:100]的频谱比较。在没有做DFT前,可以知道xn的频谱是两个脉冲。且脉冲的位置在0.48pi和0.52pi。
%corn 2014.11.13
clear; clc;
N = 10;
n = 0 : N;
x = cos(0.48 * pi * n) + cos(0.52 * pi * n);
k = 0 : N;
Wn = exp(-j* 2* pi / N);
nk = n' * k;
Wnnk = Wn .^ nk;
Xk = x * Wnnk;
magxk = abs(Xk);
subplot(3,1,1);
stem(n, magxk);
title('N = 10');
N = 100;
n = 0 : 100;
x = cos(0.48 * pi * n) + cos(0.52 * pi * n);
k = 0 : N;
Wn = exp(-j* 2* pi / N);
nk = n' * k;
Wnnk = Wn .^ nk;
x= [ x(1:1:11) zeros(1,90)]; %add 90 of 0
Xk = x * Wnnk;
magxk = abs(Xk);
subplot(3,1,2);
stem(n, magxk);
title('N = 10 and add 90 of 0');
x = cos(0.48 * pi * n) + cos(0.52 * pi * n);
Xk = x * Wnnk;
magxk = abs(Xk);
subplot(3,1,3);
plot(n, magxk);
title('N = 100');
可以明显的看出:在N=10,时和N= 100时的DFT是有明显差异的,这表明:N=10即频域的采样分辨率是2*pi/ 10 比 N = 100, 2*pi/ 100 有更多的混叠。而增加0只是增加了密度使之更平滑。如下图使用plot的频谱图。
比如最后在N = 100时再增加100个零它们的效果如下:
到此就可以知道:在原序列后加0,并没有得到更多的谱的信息,而是使相应的谱更加平滑。
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