2020CCPC长春题解 I - Kawaii Courier

题目大意:给一个树,让你求每个节点走到根节点的期望的d*x^d,d为走过的边个数。走法是每次随机等概率走到相邻的点。

题目分析: 相对于经典的距离d的期望,这里要求的是d*x^d的期望。

      我们设F(a)=a *x^a

      考察F(a+b)与F(a) F(b)的关系,很遗憾,没法直接表示。

      引入,辅助函数G(a)=x^a

      那么F(a+b)=F(a)*G(b)+F(b)*G(a)

      而G(a+b)=G(a)*G(b)

      那么分别用两个DFS求出F,G。再用一个DFS得到答案即可。复杂度O(nlogn) n是dfs复杂度,log是逆元复杂度。
代码如下:

 1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 const long long mod=1e9+7;
4 const long long maxn=1e5+10;
5 long long b[maxn],c[maxn],n,k,px,qx,nx,u,v,ans;
6 vector<long long> a[2*maxn];
7 long long ksm(long long x,long long t)
8 {
9 long long ans=1;
10 long long res=x;
11 while (t)
12 {
13 if (t&1) ans=ans*res%mod;
14 res=res*res%mod;
15 t=t>>1;
16 }
17 return ans;
18 }
19 long long _inv(long long x)
20 {
21 x=(x%mod+mod)%mod;
22 return ksm(x,mod-2);
23 }
24 void init()
25 {
26 scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&px,&qx);
27 nx=(px*ksm(qx,mod-2))%mod;
28 for (int i=1;i<n;i++)
29 {
30 scanf("%lld%lld",&u,&v);
31 a[u].push_back(v);
32 a[v].push_back(u);
33 }
34 }
35 void dfs1(long long x,long long fa)
36 {
37 long long sum=0;
38 for (int i=0;i<a[x].size();i++)
39 {
40 if (a[x][i]==fa) continue;
41 dfs1(a[x][i],x);
42 sum=(sum+b[a[x][i]])%mod;
43 }
44 b[x]=(nx*_inv(a[x].size()-nx*sum%mod))%mod;
45 }
46 void dfs2(long long x,long long fa)
47 {
48 long long sum1=0,sum2=0;
49 for (int i=0;i<a[x].size();i++)
50 {
51 if (a[x][i]==fa) continue;
52 dfs2(a[x][i],x);
53 sum1=(sum1+b[a[x][i]])%mod;
54 sum2=(sum2+c[a[x][i]])%mod;
55 }
56 c[x]=((nx*b[x]%mod)*(sum1+sum2)%mod+nx)%mod;
57 c[x]=c[x]*_inv(a[x].size()-nx*sum1%mod)%mod;
58 }
59 void get_ans(long long x,long long fa,long long f,long long g)
60 {
61 if (x!=k) ans=ans^(x*((f*c[x]+g*b[x])%mod)%mod);
62 for (int i=0;i<a[x].size();i++)
63 {
64 if (a[x][i]==fa) continue;
65 get_ans(a[x][i],x,f*b[x]%mod,(f*c[x]+g*b[x])%mod);
66 }
67 }
68 int main()
69 {
70 init();
71 dfs1(k,k);
72 dfs2(k,k);
73 b[k]=1;
74 c[k]=0;
75 ans=0;
76 get_ans(k,k,1,0);
77 printf("%lld\n",ans);
78 return 0;
79 }

of I

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