LIS+LCS+LCIS

PS:本篇博文均采用宏#define FOR(i, a, n) for(i = a; i <= n; ++i)

• LIS：最长上升子序列

  废话不多说：http://baike.baidu.com/link?url=bRXFb18sGwPcKpplIIIq40hnngEUJe6S4b1PLgVnaby8zaahrO2NhI2tfoQZmw54#2_1 http://www.nocow.cn/index.php/%E6%9C%80%E9%95%BF%E4%B8%8D%E4%B8%8B%E9%99%8D%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97

  设状态f(i)表示前i个数的最长上升子序列的长度，可以得到

  f(i) = max{f(j)} + 1, 其中 1 <= j < i且a[i] < a[j]

  答案就是max{f(i)}, 1<=i<=n

  CODE:

  FOR(i, 1, n) {
  	f[i] = 1; //初始化
  	FOR(j, 1, i-1)
  		if(a[j] < a[i] && f[i] < f[j] + 1)
  			f[i] = f[j] + 1, ans = max(ans, f[i]);
  }
  

  其实就是在前面找一个k，接上去

  然后是带路径记录的LIS，想法是，既然每次都是找f[j]来接到f[i]上，那么记录每个j，然后逆着走即可：

  #include <cstdio>
  using namespace std;
  #define FOR(i, a, n) for(i = a; i <= n; ++i)
  
  const int maxn = 5000;
  int n, a[maxn], f[maxn], i, j, ans;
  int pre[maxn], path[maxn], pos, len;
  
  void setIO() {
  	freopen("in", "r", stdin);
  	freopen("out", "w", stdout);
  }
  int main() {
  	setIO();
  	scanf("%d", &n);
  	FOR(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]);
  	FOR(i, 1, n) {
  		f[i] = 1; //初始化
  		FOR(j, 1, i-1) //增序得出来答案是lower_bound(i)的。。
  			if(a[j] < a[i] && f[i] < f[j] + 1) {
  				f[i] = f[j] + 1;
  				pre[i] = j; //记录接入的路径
  				if(ans < f[i])
  					ans = f[i], pos = i; //记录最长的开始下标
  		}
  	}
  	printf("%d\n", ans);
  	len = ans;
  	if(ans > 0) path[ans--] = pos; //先加入进去，因为没有记录最后的接入路径
  	while(ans && pos) {
  		if(pre[pos] > 0) {
  			path[ans--] = pre[pos];
  			pos = pre[pos];
  		}
  	}
  	FOR(i, 1, len) printf("%d ", a[path[i]]);
  	return 0;
  }

• LCS：最长公共子序列

  还是去看nocow把：http://www.nocow.cn/index.php/%E6%9C%80%E9%95%BF%E5%85%AC%E5%85%B1%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97

  设f(i, j)表示a的前i个数和b的前j个数的最大公共子序列长度，有

  f(i, j) = f(i-1, j-1) + 1,  a[i] == b[j]

  f(i, j) = max{f(i-1, j), f(i, j-1)},  a[i] != b[j]

  答案是f(sa, sb)，sa,sb是a和b的长度

  将这个用矩阵表示好理解，具体看nocow

  二维：

  FOR(i, 1, sa) FOR(j, 1, sb)
  	if(seq1[i] == seq2[j]) f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1;
  	else f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1]);
  

  由于是方程严格递增并且方程阶段是第二维，那么我们可以转化为一维的

  一维：

  FOR(i, 1, sa) FOR(j, 1, sb)
  	if(seq1[i] == seq2[j]) f[j] = f[j-1] + 1;
  	else f[j] = max(f[j], f[j-1]);
  

  那么用二维的我们还能求路径，与LIS不同的是，LCS求路径是方程的逆，逆回去即可。。。

  可以用矩阵来想

  for(i = sa, j = sb; j > 0 && i > 0;) {
  	if(seq1[i] == seq2[j]) {
  		path[num++] = seq1[i];
  		i--; j--;
  	}
  	else (f[i-1][j] > f[i][j-1]) ? i-- : j--;
  }
  

  全套：

  #include <cstdio>
  #include <iostream>
  using namespace std;
  #define FOR(i, a, n) for(i = a; i <= n; ++i)
  
  void setIO() {
  	freopen("in", "r", stdin);
  	freopen("out", "w", stdout);
  }
  const int maxn = 500;
  int i, j, num, f[maxn][maxn], seq1[maxn], seq2[maxn], sa, sb;
  int path[maxn];
  
  int max(const int& a, const int& b) { return a < b ? b : a; }
  
  int main() {
  	setIO();
  
  	scanf("%d%d", &sa, &sb);
  	FOR(i, 1, sa) scanf("%d", &seq1[i]);
  	FOR(i, 1, sb) scanf("%d", &seq2[i]);
  	FOR(i, 1, sa) FOR(j, 1, sb)
  		if(seq1[i] == seq2[j]) f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1;
  		else f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1]);
  	for(i = sa, j = sb; j > 0 && i > 0;) {
  		if(seq1[i] == seq2[j]) {
  			path[num++] = seq1[i];
  			i--; j--;
  		}
  		else (f[i-1][j] > f[i][j-1]) ? i-- : j--;
  	}
  	cout << f[sa][sb] << endl;
  	for(i = num-1; i >= 0; --i) cout << path[i] << ' ';
  	cout << endl;
  	return 0;
  }
  

• LCIS：最长公共上升子序列

  这个可以说是LCS和LIS的结合体~。我们用LIS的思想来想，3维的方法我不会。。网上也没有找到，那就只有用n^2算法把。。

  具体定义什么的可以参考前一篇博文

  这里更新一下求路径的以及一些注释

  #include <iostream>
  #include <cstdio>
  using namespace std;
  
  #define FOR(i, a, n) for(i = a; i <= n; ++i)
  
  void setIO() {
  	freopen("in", "r", stdin);
  	freopen("out", "w", stdout);
  }
  const int maxn = 550;
  int seq1[maxn], seq2[maxn], sa, sb;
  int f[maxn], pre[maxn][maxn], path[maxn], ans, len, maxi, temp, pos1, pos2, i, j, k;
  int max(const int& a, const int& b) { return a < b ? b : a; }
  
  int main() {
  	setIO();
  
  	cin >> sa >> sb;
  	FOR(i, 1, sa) cin >> seq1[i];
  	FOR(i, 1, sb) cin >> seq2[i];
  	ans = 0;
  	FOR(i, 1, sa) {
  		maxi = temp = 0; //初始化，很重要
  		FOR(j, 1, sb) //求lcds将a[i] > b[j]改为a[i] < b[j]即可
  			if(seq1[i] > seq2[j] && f[j] > maxi) maxi = f[j], temp = j; //得到temp = max{f[i-1][k]}
  			else if(seq1[i] == seq2[j]) {
  				f[j] = maxi + 1;
  				pre[i][j] = temp; //能接上b[j]的b[temp]，以后用答案直接索引到temp
  				if(ans < f[j]) {
  					pos1 = i; //记录最长公共上升seq所对应的下标i和j
  					pos2 = j;
  					ans = f[j];
  				}
  			}
  	}
  	cout << ans << endl;
  	len = ans;
  	//和LIS的路径几乎一模一样
  	if(ans > 0) path[ans--] = pos2; //将最后的添上
  	while(ans && pos1 && pos2) { //依据pos2（最长seq的j值）一直找
  		if(pre[pos1][pos2] > 0) {
  			path[ans--] = pre[pos1][pos2];  //将这些k记录下来
  			pos2 = pre[pos1][pos2]; //更新接上的最大
  		}
  		pos1--; //因为要的是max{f[i-1][k]}，所以要倒着i-1回去找，即f[i-1][k]，记录的k值
  	}
  	FOR(i, 1, len) cout << seq2[path[i]] << ' ';
  	cout << endl;
  
  	return 0;
  }