秋招刚结束,这俩月没事就学习下斯坦福大学公开课,想学习一下深度学习(这年头不会DL,都不敢说自己懂机器学习),目前学到了神经网络部分,学习起来有点吃力,把之前学的BP(back-progagation)神经网络复习一遍加深记忆。看了许多文章发现一PPT上面写的很清晰,就搬运过来,废话不多说,直入正题:

单个神经元

  神经网络是由多个“神经元”组成,单个神经元如下图所示:

  这其实就是一个单层感知机,输入是由ξ1 ,ξ2 ,ξ3和Θ组成的向量。其中Θ为偏置(bias),σ为激活函数(transfer function),本文采用的是sigmoid函数,功能与阶梯函数(step function)相似控制设神经元的输出,它的优点是连续可导。

是神经元的输出,结果为

可以看得出这个“神经元”的输入-输出映射其实就是一个逻辑回归,常用的激活函数还有双曲正切函数 。

激活函数

sigmoid:函数

取值范围为[0,1],它的图像如下:

求导结果为:

tanh函数:

取值范围为[-1,1],图像如下:

求导数结果为。本文采用的是sigmoid函数作为激活函数。

神经网络模型

神经网络将许多“神经元”联结在一起,一个神经元的输出可以是另一个“神经元”的输入,神经元之间的传递需要乘法上两个神经元对应的权重,下图就是一个简单的神经网络:

这是一个三层的神经网络,使用圆圈来表示神经元的输入,“+1”被称为偏置节点,从左到右依次为输入层、隐藏层和输出层,从图中可以看出,有3个输入节点、3个隐藏节点和一个输出单元(偏置不接受输入)。

本例神经网络的参数有,其中 是第l层第 j 单元与 l+1层第   单元之间的联接参数,即:节点连线的权重,本图中 是第l+1 层第i单元的偏置项。

向前传播

  机器学习(有监督)的任务无非是损失函数最小化,BP神经网络的原理是前向传播得到目标值(分类),再通过后向传播对data loss进行优化求出参数。可见最优化部分

   表示 层第  单元激活值(输出值)。当  时,  ,也就是第  个输入值。对于给定参数集  , 来表示神经网络最后计算输出的结果。上图神经网络计算步骤如下:

可以看出,神经网络的核心思想是这一层的输出乘上相应的权重加上偏置,带入激活函数后的输出又是下一层的输入。用  表示第层第 单元输入加权和 ,则 。使用向量化表示方法表示,上面的公式可以简写为:

这些计算步骤就是前向传播,将计算过程进行推广,给定第  层的激活值 ,第 层的激活值的计算过程为:

反向传播

在前向传播中,我们得到了神经网络的预测值,这时候可以通过反向传播的方法计算出参数

符号定义

:第l层第j个节点的输入。

:从第l-1层第i个节点到第l层第j个节点的权值。

:Sigmoid激活函数。

::第l层第j个节点的偏置。

::第l层第j个节点的输出。

::输出层第j个节点的目标值(label)。

使用梯度下降的方法求解参数,在求解的过程中需要对输出层和隐藏层分开计算

输出层权重计算

  给定样本标签和模型输出结果,输出层的损失函数为:

这其实就是均方差项,训练的目标是最小化该误差,使用梯度下降方法进行优化,对上式子对权重W进行求导:

,整理

其中=带入,对sigmoid求导得:

输出层第k个节点的输入等于上一层第j个节点的输出乘上,即=,而上一层的输出与输出层的权重变量无关,可以看做一个常数,所以直接求导可以得到:

所以将=带入式子中就得到:

为了方便表示将上式子记作:

其中:

隐藏层权重计算

采用同样方法对隐藏层的权重进行计算,与前面不同的是关于隐藏层和前一层权重的调整

整理

替换sigmoid函数

对sigmoid求导

带入进去,使用求导的链式法则:

输出层的输入等于上一层的输入乘以相应的权重,即:于是得到

进行求导(=,同样适用于j),

同输出层计算的方法一样,再次利用,j换成i,k换成j同样成立,带入进去:

整理,得到:

其中:

我们还可以仿照的定义来定义一个,得到:

其中:

偏置调整

  从上面的计算步骤中可以看出:例如,偏置节点是不存在对应的权值参数,也就是不存在关于权值变量的偏导数。

对偏置直接求导:

又有

得到:

,其中:

BP算法步骤

1. 随机初始化W和b,需要注意的是,随机初始化并是不是全部置为0,如果所有参数都是用相同的值初始化,那么所有隐藏单元最终会得到与输入值相关、相同的函数(也就是说,对于所有 都会取相同的值,那么对于任何输入  都会有: ),随机初始化的目的是使对称失效

2.对每个输出节点按照这个公式计算delta:

3.对每个隐藏节点按照这个公式计算delta:

4.更新W和b的公式为:

并更新参数,这里的η是学习率。

Reference

1.反向传播神经网络极简入门

2.反向传导算法

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