传送门

题意:

求\(\displaystyle \sum_{i=0}^n{n\choose i}i^k,n\leq 10^9,k\leq 5000\)。

思路:

将\(i^k\)用第二类斯特林数展开,推导方式如:传送门

但这个题要简单一些,不用\(NTT\)预处理,直接递推就行。

详见代码:

  1. /*
  2. * Author: heyuhhh
  3. * Created Time: 2019/12/12 10:42:37
  4. */
  5. #include <iostream>
  6. #include <algorithm>
  7. #include <cstring>
  8. #include <vector>
  9. #include <cmath>
  10. #include <set>
  11. #include <map>
  12. #include <queue>
  13. #include <iomanip>
  14. #define MP make_pair
  15. #define fi first
  16. #define se second
  17. #define sz(x) (int)(x).size()
  18. #define all(x) (x).begin(), (x).end()
  19. #define INF 0x3f3f3f3f
  20. #define Local
  21. #ifdef Local
  22. #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  23. void err() { std::cout << '\n'; }
  24. template<typename T, typename...Args>
  25. void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  26. #else
  27. #define dbg(...)
  28. #endif
  29. void pt() {std::cout << '\n'; }
  30. template<typename T, typename...Args>
  31. void pt(T a, Args...args) {std::cout << a << ' '; pt(args...); }
  32. using namespace std;
  33. typedef long long ll;
  34. typedef pair<int, int> pii;
  35. //head
  36. const int N = 5005, MOD = 1e9 + 7;
  37. int n, k;
  38. int fac[N], c[N], two[N];
  39. int s[N][N];
  40. ll qpow(ll a, ll b) {
  41. ll ans = 1;
  42. while(b) {
  43. if(b & 1) ans = ans * a % MOD;
  44. a = a * a % MOD;
  45. b >>= 1;
  46. }
  47. return ans;
  48. }
  49. void run(){
  50. cin >> n >> k;
  51. fac[0] = 1;
  52. for(int i = 1; i < N; i++) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % MOD;
  53. c[0] = 1;
  54. for(int i = 1; i <= k; i++) c[i] = 1ll * c[i - 1] * (n - i + 1) % MOD * qpow(i, MOD - 2) % MOD;
  55. two[0] = qpow(2, n);
  56. int inv2 = qpow(2, MOD - 2);
  57. for(int i = 1; i <= k; i++) two[i] = 1ll * two[i - 1] * inv2 % MOD;
  58. s[0][0] = 1;
  59. for(int i = 1; i < N; i++) {
  60. for(int j = 1; j <= i; j++) {
  61. s[i][j] = (1ll * j * s[i - 1][j] % MOD + s[i - 1][j - 1]) % MOD;
  62. }
  63. }
  64. int ans = 0;
  65. for(int i = 0; i <= k; i++) {
  66. ans = (ans + 1ll * fac[i] * s[k][i] % MOD * c[i] % MOD * two[i] % MOD) % MOD;
  67. }
  68. cout << ans << '\n';
  69. }
  70. int main() {
  71. ios::sync_with_stdio(false);
  72. cin.tie(0); cout.tie(0);
  73. cout << fixed << setprecision(20);
  74. run();
  75. return 0;
  76. }

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