https://www.cnblogs.com/31415926535x/p/11447033.html

曾今一时的懒，造就今日的泪

记得半年前去武大参加的省赛，当时的A题就是一个广义欧拉降幂的板子题，后来回来补了一下，因为没有交的地方，于是就测了数据就把代码扔了，，，然后，，昨天的南京网络赛就炸了，，，一样的广义欧拉降幂的板子题，，然后因为忘记了当初自己想出来的那中写法，，一直想着回想起之前的写法，，然后到结束都没弄出来，，，emmmm，，

赛后看了一下别人的解法，，别人的处理方法很巧妙，，当然另一个种返回两个值的（pair）的解法就是武大的标程，，，，（到最后之前想出的写法还是每能推出来，，都开始怀疑自己当时有没有真的推出来，，，，，

思路

广义欧拉降幂没啥好说的，，就是那个公式：

$$
对于求 a^b(mod  p)可以转换为：

  1. a^b = \begin{cases}
  2.     a^{b \%  \phi (p)}   &gcd(a, p)=1 \\
  3.     a^b &gcd(a, p) \neq 1, b < \phi (p) \\
  4.     a^{b \% \phi (p) + \phi (p)} &gcd(a, p) \neq 1, b \ge \phi (p)
  5. \end{cases}

$$

公式很简单，，但是如果是求 \(a_1^{a_2^{a_3^{...}}} (mod \ p)\) 类似这样的值的话，显然要递归从上往下求（刚开始弄成了从下往上求，，口胡了一段时间，，，，），，但是再递归求的时候要考虑每一次 \(b\) 和 \(\phi (p)\) 的关系，，然后选择哪一个等式，，，这样就麻烦了，，可以用一个 pair 什么的来保存一个标志变量来决定递归的上一层要不要 \(+ \phi (p)\) ，，另一种巧妙地方式是修改一下 取模 的过程，，这样就不用考虑了，，，具体的推导过程在这里

所有的取模的步骤改成这样：

  1. inline ll modulo(ll x, ll mod){return x < mod ? x : x % mod + mod;}

这样保证 \(b \ge \phi (p)\)，，然后就少了判断的情况

题目

南京网络赛B supper_log

南京网络赛B supper_log

这道题按题目的意思推几项样例就能看出是要求一个 \(a^{a^{a^{a^{...}}}} mod \ m （一共有b个a）\) 的值，，直接降幂求就可以了，， 记得特判 b=0 的情况

代码

群里很多大佬用的方法，重置取模的流程

  1. #include <bits/stdc++.h>
  2. #define aaa cout<<233<<endl;
  3. #define endl '\n'
  4. #define pb push_back
  5. using namespace std;
  6. typedef long long ll;
  7. typedef unsigned long long ull;
  8. typedef long double ld;
  9. // mt19937 rnd(time(0));
  10. const int inf = 0x3f3f3f3f;//1061109567 > 1e9
  11. const ll linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
  12. const double eps = 1e-7;
  13. const double pi = 3.14159265358979;
  14. const int maxn = 1e3 + 5;
  15. const int maxm = 1e3 + 5;
  16. const int mod = 1e9 + 7;
  18. ll f(ll x, ll a)
  19. {
  20.     if(x < 1)return -1;
  21.     return 1 + f((ll)(log(x) / log(a)), a);
  22. }
  24. inline ll modulo(ll x, ll mod){return x < mod ? x : x % mod + mod;}
  25. inline ll pow_(ll a, ll b, ll p)
  26. {
  27.     ll ret = 1;
  28.     while(b)
  29.     {
  30.         if(b & 1)ret = modulo(ret * a, p);
  31.         a = modulo(a * a, p);
  32.         b >>= 1;
  33.     }
  34.     return ret;
  35. }
  36. inline ll phi(ll x)
  37. {
  38.     ll ans = x;
  39.     for(ll i = 2; i * i <= x; ++i)
  40.     {
  41.         if(x % i == 0)
  42.         {
  43.             ans = ans / i * (i - 1);
  44.             while(x % i == 0)x /= i;
  45.         }
  46.     }
  47.     if(x > 1)ans = ans / x * (x - 1);
  48.     return ans;
  49. }
  50. ll gcd(ll a, ll b)
  51. {
  52.     if(b == 0)return a;
  53.     return gcd(b, a % b);
  54. }
  55. ll f(ll a, ll b, ll k, ll p)
  56. {
  57.     if(p == 1)return 1;
  58.     if(k == 0)return 1;
  59.     return pow_(a, f(a, a, k - 1, phi(p)), p);
  60. }
  62. int main()
  63. {
  64.     // double pp = clock();
  65.     // freopen("233.in", "r", stdin);
  66.     // freopen("233.out", "w", stdout);
  67.     // ios_base::sync_with_stdio(0);
  68.     // cin.tie(0);cout.tie(0);
  70.     int t; cin >> t;
  71.     while(t--)
  72.     {
  73.         ll a, b, m;
  74.         cin >> a >> b >> m;
  75.         // cout << a << b << m << endl;
  76.         if(b == 0)
  77.         {
  78.             cout << 1 % m << endl;
  79.             continue;
  80.         }
  81.         ll ans = f(a, a, b, m) % m;
  82.         // if(a == 1)ans = 1 % m;
  83.         // cout << ans << " " << ans % m << endl;
  84.         cout << ans << endl;
  85.     }
  87.     // cout << endl << (clock() - pp) / CLOCKS_PER_SEC << endl;
  88.     return 0;
  89. }

pair记录上一层

武大那场的标程，，直接改了下输入，，

  1. #include <bits/stdc++.h>
  2. using namespace std;
  3. #define ll long long
  4. const int N = 1000010;
  5. int prime[N + 1], isprime[N + 1];
  6. int tot, phi[N + 1];
  7. struct P
  8. {
  9.     ll ans;
  10.     bool v;
  11.     P(ll _ans, bool _v)
  12.     {
  13.         ans = _ans;
  14.         v = _v;
  15.     }
  16. };
  17. ll gcd(ll a, ll b)
  18. {
  19.     return b ? gcd(b, a % b) : a;
  20. }
  21. P qpow(ll A, ll B, ll C)
  22. {
  23.     ll re = 1;
  24.     bool flag = 1;
  25.     while (B)
  26.     {
  27.         if (B & 1)
  28.         {
  29.             if ((re *= A) >= C)
  30.                 flag = 0;
  31.             re = re % C;
  32.         }
  33.         B = B >> 1;
  34.         if (B)
  35.         {
  36.             if (A >= C)
  37.                 flag = 0;
  38.             A %= C;
  39.             if ((A *= A) >= C)
  40.                 flag = 0;
  41.             A %= C;
  42.         }
  43.     }
  44.     return P(re, flag);
  45. }
  46. void getphi()
  47. {
  48.     phi[1] = 1;
  49.     isprime[1] = 1;
  50.     for (int i = 2; i <= N; i++)
  51.     {
  52.         if (!isprime[i])
  53.         {
  54.             prime[++tot] = i;
  55.             phi[i] = i - 1;
  56.         }
  57.         for (int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= N; j++)
  58.         {
  59.             isprime[i * prime[j]] = 1;
  60.             if (i % prime[j] == 0)
  61.             {
  62.                 phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
  63.                 break;
  64.             }
  65.             else
  66.                 phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
  67.         }
  68.     }
  69. }
  70. inline ll Euler(ll x)
  71. {
  72.     return phi[x];
  73.     //题目可以再复杂一点模数可以到longlong
  74.     // ll ans = x;
  75.     // for (int i = 1; i <= tot && prime[i] * prime[i] <= x; i++)
  76.     // {
  77.     //     if (x % prime[i] == 0)
  78.     //     {
  79.     //         ans = ans / prime[i] * (prime[i] - 1);
  80.     //         while (x % prime[i] == 0)
  81.     //             x /= prime[i];
  82.     //     }
  83.     // }
  84.     // if (x > 1)
  85.     //     ans = ans / x * (x - 1);
  86.     // return ans;
  87. }
  88. P f(ll a, ll b, ll k, ll p)
  89. {
  90.     if (p == 1)
  91.         return P(0, 0);
  92.     if (k == 0)
  93.         return P(a % p, a < p);
  94.     ll ep = Euler(p);
  95.     P tmp = f(b, b, k - 1, ep);
  96.     if (gcd(a, p) == 1)
  97.         return qpow(a, tmp.ans, p);
  98.     if (tmp.v == false)
  99.     {
  100.         tmp.ans += ep;
  101.     }
  102.     return qpow(a, tmp.ans, p);
  103. }
  104. int main()
  105. {
  106.     //double pp = clock();
  107.     // freopen("233.in", "r", stdin);
  108.     // freopen("233.out", "w", stdout);
  109.     ll a, b, k, p;
  110.     getphi();
  111.     int t;
  112.     while (~scanf("%d", &t))
  113.     {
  114.         while (t--)
  115.         {
  116.             scanf("%lld %lld %lld", &a, &k, &p);
  117.             b = a;
  118.             if(k == 0)
  119.             {
  120.                 printf("%lld\n", 1 % p);
  121.                 continue;
  122.             }
  123.             printf("%lld\n", f(a, b, k - 1, p).ans);
  124.         }
  125.     }
  126.     //cout<<(clock()-pp)/CLOCKS_PER_SEC;
  127.     return 0;
  128. }

cf-906 D. Power Tower

cf-906 D. Power Tower

突然很多人交这道两年前的题啊，，hhhhh

这题也是降幂，他是求的一个指数序列的一个区间的幂的值，，，套路一样，，就是这个模数很大，，不能每次都算他的 phi ，，不然会超时，，所以要记忆化一下 unordered_map 一下，，或者 预处理一下模数的所有phi 因为对一个数一直求 phi 下去，，其实个数不多，，，

  1. #include <bits/stdc++.h>
  2. #define aaa cout<<233<<endl;
  3. #define endl '\n'
  4. #define pb push_back
  5. using namespace std;
  6. typedef long long ll;
  7. typedef unsigned long long ull;
  8. typedef long double ld;
  9. // mt19937 rnd(time(0));
  10. const int inf = 0x3f3f3f3f;//1061109567 > 1e9
  11. const ll linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
  12. const double eps = 1e-7;
  13. const double pi = 3.14159265358979;
  14. const int maxn = 1e5 + 5;
  15. const int maxm = 1e3 + 5;
  16. const int mod = 1e9 + 7;
  18. ll a[maxn];
  20. inline ll modulo(ll x, ll mod){return x < mod ? x : x % mod + mod;}
  21. inline ll pow_(ll a, ll b, ll p)
  22. {
  23.     ll ret = 1;
  24.     while(b)
  25.     {
  26.         if(b & 1)ret = modulo(ret * a, p);
  27.         a = modulo(a * a, p);
  28.         b >>= 1;
  29.     }
  30.     return ret;
  31. }
  32. unordered_map<ll, ll> phi_;
  33. inline ll phi(ll x)
  34. {
  35.     if(phi_[x])return phi_[x];
  36.     ll ans = x;
  37.     ll t = x;
  38.     for(ll i = 2; i * i <= x; ++i)
  39.     {
  40.         if(x % i == 0)
  41.         {
  42.             ans = ans / i * (i - 1);
  43.             while(x % i == 0)x /= i;
  44.         }
  45.     }
  46.     if(x > 1)ans = ans / x * (x - 1);
  47.     phi_[t] = ans;
  48.     return ans;
  49. }
  50. //这里根据题意来更改，k表示共有k个指数
  51. ll f(ll a, ll b, ll k, ll p)
  52. {
  53.     if(p == 1)return 1;
  54.     if(k == 0)return 1;
  55.     return pow_(a, f(a, a, k - 1, phi(p)), p);
  56. }
  57. ll f(ll l, ll r, ll p)
  58. {
  59.     if(p == 1)return 1;
  60.     if(l == r + 1)return 1;
  61.     return pow_(a[l], f(l + 1, r, phi(p)), p);
  62. }
  64. int main()
  65. {
  66.     // double pp = clock();
  67.     // freopen("233.in", "r", stdin);
  68.     // freopen("233.out", "w", stdout);
  69.     ios_base::sync_with_stdio(0);
  70.     cin.tie(0);cout.tie(0);
  72.     ll n, m;
  73.     cin >> n >> m;
  74.     for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> a[i];
  75.     int q; cin >> q;
  76.     while(q--)
  77.     {
  78.         ll l, r; cin >> l >> r;
  79.         cout << f(l, r, m) % m << endl;
  80.     }
  82.     // cout << endl << (clock() - pp) / CLOCKS_PER_SEC << endl;
  83.     return 0;
  84. }

cf-gym-101550 E Exponial

cf-gym-101550 E Exponial

这题是求一个 \(n^{{n-1}^{{n-2}^{{n-3}^{{...}^{1}}}}} mod \ p\) ，，，用上面的板子改一改就可以了，，，

  1. #include <bits/stdc++.h>
  2. #define aaa cout<<233<<endl;
  3. #define endl '\n'
  4. #define pb push_back
  5. using namespace std;
  6. typedef long long ll;
  7. typedef unsigned long long ull;
  8. typedef long double ld;
  9. // mt19937 rnd(time(0));
  10. const int inf = 0x3f3f3f3f;//1061109567 > 1e9
  11. const ll linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
  12. const double eps = 1e-7;
  13. const double pi = 3.14159265358979;
  14. const int maxn = 1e5 + 5;
  15. const int maxm = 1e3 + 5;
  16. const int mod = 1e9 + 7;
  18. inline ll modulo(ll x, ll mod){return x < mod ? x : x % mod + mod;}
  19. inline ll pow_(ll a, ll b, ll p)
  20. {
  21.     ll ret = 1;
  22.     while(b)
  23.     {
  24.         if(b & 1)ret = modulo(ret * a, p);
  25.         a = modulo(a * a, p);
  26.         b >>= 1;
  27.     }
  28.     return ret;
  29. }
  30. unordered_map<ll, ll> phi_;
  31. inline ll phi(ll x)
  32. {
  33.     if(phi_[x])return phi_[x];
  34.     ll ans = x;
  35.     ll t = x;
  36.     for(ll i = 2; i * i <= x; ++i)
  37.     {
  38.         if(x % i == 0)
  39.         {
  40.             ans = ans / i * (i - 1);
  41.             while(x % i == 0)x /= i;
  42.         }
  43.     }
  44.     if(x > 1)ans = ans / x * (x - 1);
  45.     phi_[t] = ans;
  46.     return ans;
  47. }
  49. // ll f(ll l, ll r, ll p)
  50. // {
  51. //     if(p == 1)return 1;
  52. //     if(l == r + 1)return 1;
  53. //     return pow_(a[l], f(l + 1, r, phi(p)), p);
  54. // }
  56. ll f(ll a, ll p)
  57. {
  58.     if(p == 1)return 1;
  59.     if(a == 1)return 1;
  60.     return pow_(a, f(a - 1, phi(p)), p);
  61. }
  63. int main()
  64. {
  65.     // double pp = clock();
  66.     // freopen("233.in", "r", stdin);
  67.     // freopen("233.out", "w", stdout);
  68.     ios_base::sync_with_stdio(0);
  69.     cin.tie(0);cout.tie(0);
  71.     ll n, m;
  72.     while(cin >> n >> m)cout << f(n, m) % m << endl;
  74.     // cout << endl << (clock() - pp) / CLOCKS_PER_SEC << endl;
  75.     return 0;
  76. }

貌似够了，，，数论是最不想碰的东西，，emmmm，，，但又时不得不稍稍掌握的东西，，，，

(end....)

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