浅谈lowbit运算

关于lowbit运算的相关知识

本篇随笔简单讲解一下计算机中位运算的一类重要运算方式——\(lowbit\)运算。

lowbit的概念

我们知道，任何一个正整数都可以被表示成一个二进制数。如：

\[(2)_{10}=(10)_2
\]

\[(4)_{10}=(100)_2
\]

\[\cdots
\]

那么定义一个函数\(f=lowbit(x)\)，这个函数的值是\(x\)的二进制表达式中最低位的\(1\)所对应的值。

比如:

\[(6)_{10}=(110)_2
\]

那么\(lowbit(6)\)就等于\(2\)，因为\((110)_2\)中最低位（就是从右往左数的第二位）对应的数是\(2^1=2\)

所以假设一个数的二进制最低位的\(1\)在从右往左数的第\(k\)位，那么它的\(lowbit\)值就是

\[2^{k-1}
\]

lowbit函数的实现

lowbit函数实现有两种方式：

一、

x&(x^(x-1))

二、

x&-x

简单解释一下：

我们得到lowbit的值，只需要得到最后一个1的位置，并且把除了这个位置之外的所有位置全部置成零。然后输出就可以。

那么我们看一看x&(x^(x-1))

拿上面的6举例：

\[(110)_2-1=(101)_2
\]

我们发现，根据小学数学减法运算的借位原则（滑稽），对一个二进制数进行减1，那么会出现从这个这个数的最后一个1开始到最后的所有数都取反，即构成一个\(01111\cdots\)的串。

我们把这个数与原数异或，就会造成：第一个1以后的数（包括第一个1）全部取1.其他的位全部取0.即构成一个由一堆0后面跟一堆1的串。

那么再把原式做一个与运算，那么除了原来的那个1（对应位都是1）为1，其他位全是0，完成任务。

那么我们再看一看x&-x

根据计算机补码的性质。

补码就是原码的反码加一

如：

\[(110)_2=6
\]

反码：

\[(001)_2
\]

加一：

\[(010)_2
\]

可以发现变为反码后 x 与反码数字位每一位都不同， 所以当反码加1后神奇的事情发生了，反码会逢1一直进位直到遇到0，且这个0变成了1，所以这个数最后面构造了一个 100… 串。 由于是反码，进位之后由于1的作用使进位的部分全部取反及与原码相同，所以可以发现 lowbit 以前的部分 x 与其补码即 -x 相反， lowbit x 与 -x 都是1，lowbit 以后 x 与 -x 都是0 所以 x&-x 后除了 lowbit 位是1，其余位都是0。符合条件。

用lowbit运算统计1的个数

我们可以使用lowbit运算统计一个整数的二进制形式下1的个数。

实现原理很简单啦，就是：我们先用lowbit运算找出\(lowbit(x)\)，然后用原数减去这个数，依次循环，直到为0为止。

这也是树状数组的实现原理。

代码：

while(x)
{
	x-=x&-x;
	ans++;
}

（巨短无比）

lowbit运算的应用

关于lowbit运算，最著名的应用应该算是树状数组。但是lowbit的神妙远远不止树状数组，在很多二进制和位运算的相关题目中，都有lowbit运算的影子。甚至，在状态压缩DP中，lowbit也扮演着一份不可忽视的角色。