简单题[期望DP]
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\(\mathcal{Description}\)
桌面上有R张红牌和B张黑牌,随机打乱顺序后放在桌面上,开始一张一张地翻牌,翻到红牌得到1美元,黑牌则付出1美元。可以随时停止翻牌,在最优策略下平均能得到多少钱。
\(\mathcal{Solution}\)
设\(f[i][j]\)表示有\(i\)张红牌,\(j\)张黑牌的期望收益
考虑翻一张牌,有两种情况
- 有\(\frac{i}{i+j}\)的概率翻到红牌,此后就只有\(i-1\)张红牌,\(j\)张黑牌
- 有\(\frac{j}{i+j}\)的概率翻到黑牌,此后就只有\(i\)张红牌,\(j-1\)张黑牌
需要注意的是,不要忘了翻开的牌的贡献
翻开一张牌后,该颜色牌数目就少了一张
所以有
\(f[i][j]=\frac{i}{i+j}(f[i-1][j]+1)+\frac{j}{i+j}(f[i][j-1]-1)\)
由于是最优策略,所以咱是不可能赔钱的
\(f[i][j]=max(0,\frac{i}{i+j}(f[i-1][j]+1)+\frac{j}{i+j}(f[i][j-1]-1))\)
初值\(f[0][1]=0,f[1][0]=1\),答案为\(f[R][B]\)
应正向循环
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