A*算法在最短路问题的应用及其使用举例

1 A*算法

A*算法在人工智能中是一种典型的启发式搜索算法，启发中的估价是用估价函数表示的：

其中f(n)是节点n的估价函数，g(n)表示实际状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。另外定义h'(n)为n到目标节点最佳路径的实际值。如果h'(n)≥h(n)则如果存在从初始状态走到目标状态的最小代价的解，那么用该估价函数搜索的算法就叫A*算法。

2 第K最短路的算法

我们设源点为s，终点为t，我们设状态f(i)的g(i)为从s走到节点i的实际距离，h(i)为从节点i到t的最短距离，从而满足A*算法的要求，当第K次走到f(n-1)时表示此时的g(n-1)为第K最短路长度。C++代码如下：（）

CDOJ找的一道例题：（模板题）这里面用到SPFA算法（这是中国人创造的，用于求单源最短路的一种算法，关于SFPA时间复杂度的问题，，，不确定性，有时很大，有时很小，emmmm,貌似外国人不太认可，）

Time Limit: 10000 MS Memory Limit: 256 MB

Submit Status

6·1即将来临，游乐园推出了新的主题活动，雨过天晴，帆宝和乐爷童心未泯，准备一探究竟。

兴奋的他们一入园便和孩子们打成一片，不知不觉便走散了。

当他们意识到的时候，只能通过手机来确认对方的位置。

他们当然想尽快找到对方，然而由于孩子们实在是太多，只能选择距离稍远的但是游客稀少的路会合。

帆宝希望找到第kk短的路径，这条路径是他认为的幸运路径。

帆宝迫切地想知道该条路径的长度，而乐于助人的你也一定会帮助她的。

Input

第一行三个整数n,m,kn,m,k，分别表示游乐园的景点数目、景点之间的道路数目以及路径长度从小到大排列时希望选择的序号。

第二行两个整数S,TS,T，分别表示帆宝和乐爷所在景点的编号。

接下来mm行，每行三个整数u,v,wu,v,w，表示编号为uu和vv的景点之间有一条长度为ww的单向通路。

1≤n≤1000,0≤m≤100000,1≤k≤1000,1≤S,T,u,v≤N,1≤w≤1001≤n≤1000,0≤m≤100000,1≤k≤1000,1≤S,T,u,v≤N,1≤w≤100

Output

第一行一个整数xx，表示所选路径的长度

无解输出−1−1

Sample input and output

Sample Input	Sample Output
`3 3 2` `1 2` `1 2 2` `1 3 4` `3 2 1`	`5`

题意：给你起点，终点以及要求的第K短路；

题解：首先将有向图以终点T为起点，计算出T到每一个边的最短距离(到第i条边dis[i])，

然后建立一个优先队列，从优先队列中弹出f(p)最小的点p,如果p就是T,则T的次数加一。如果当前次数等于K则当前路即为地K小

的路，，否则，，便利每一个p 所连的边，将其扩张出的到p临接点的信息加入到优先队列中；

AC代码：

 #include <bits/stdc++.h>
 #define INF 0x3f3f3f3f
 using namespace std;
 const int AX = 1e5+;
 const int MAXN = 1e3+;
 int n,m,k;
 int s,t;
 int tot;
 int retot;
 struct edge{
     int to,w;
     int next1;
 }G[AX],RG[AX];
 
 struct Node{
     int v;
     int f,h,g;
     bool operator < (const Node &a) const{ return f==a.f? g>a.g : f>a.f; }
 };
 
 int dis[MAXN];
 int head[MAXN];
 int rehead[AX];
 int vis[MAXN];
 
 void add_edge(int u,int v,int c)
 {
     G[tot].to=v;
     G[tot].w=c;
     G[tot].next1=head[u];
     head[u]=tot++;
 
     RG[retot].to=u;
     RG[retot].w=c;
     RG[retot].next1=rehead[v];
     rehead[v]=retot++;
 }
 void SPFA()
 {
     for(int i=;i<=n;i++) dis[i]=INF;
     dis[t]=;
     queue<int> Q;
     Q.push(t);
     while(!Q.empty())
 {
         int u=Q.front();
         Q.pop();
         for(int i=rehead[u];i!=-;i=RG[i].next1)
 {
             int v=RG[i].to ;
             int w=RG[i].w ;
             if(dis[v]>dis[u]+w)
 {
                 dis[v]=dis[u]+w;
                 Q.push(v);
             }
         }
     }
 }
 
 int Astar(Node a)
 {
     memset(vis,,sizeof(vis));
     if(dis[s]==INF) return -;//如果没有与S相连的点
     if(s==t) k++;
     priority_queue<Node> Q;
     Q.push(a);
     while(!Q.empty())
 {
         Node tmp=Q.top();
         Q.pop();
         int v=tmp.v;
         vis[v]++;
         if(vis[t]==k) return tmp.g;
         for(int i=head[v];i!=-;i=G[i].next1)
 {
             Node p;
             p.v=G[i].to;
             p.h=dis[G[i].to];
             p.g=tmp.g+G[i].w;
             p.f=p.g+p.h;
             Q.push(p);
         }
     }
     return -;
 }
 
 int main()
 {
     tot=;
     retot=;
     memset(head,-,sizeof head);
     memset(rehead,-,sizeof rehead);
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
     scanf("%d%d",&s,&t);
     int x,y,w;
     for(int i=;i<m;i++)
 {
         scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
         add_edge(x,y,w);
     }
     SPFA();
     Node a;
     a.v=s;
     a.g=;
     a.h=dis[s];
     a.f=a.g+a.h;
     int g=Astar(a);
     printf("%d\n",g);
     return  ;
 }

后面我还会更新出关于启发式搜索的讲解，以及Dijkstra,,SPFA,Folyd这三种关于不同最短路问题讲解及例题分析。

越努力，越幸运！加油！！！