洛谷4139 bzoj 3884 上帝与集合的正确用法

传送门

•题意

求$2^{2^{2^{2^{2^{2^{...^{2}}}}}}}$ (无穷个2) 对p取模的值

•思路

设答案为f(p)

$2^{2^{2^{2^{2^{2^{...^{2}}}}}}}\%p$

$=2^{(2^{2^{2^{2^{2^{...^{2}}}}}}\%\varphi(p)+ \varphi(p))}\%p$

$=2^{(2^{2^{2^{2^{2^{...^{2}}}}}}\%\varphi(p)+ \varphi(p))}\%p$

$=2^{(2^{(2^{2^{2^{2^{...^{2}}}}}\%\varphi(\varphi(p)+\varphi(\varphi(p))))}\%\varphi(p)+ \varphi(p))}\%p$

...

得到递推式     $2^{f(\varphi(p))+\varphi(p)}(mod\ p)$

利用欧拉降幂

$a^{b}=\begin{cases}a^{b\%\varphi(p)}  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  gcd(a,p)=1 \\ a^{b} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \   gcd(a,p)\neq 1,b \leqslant \varphi(p)\\a^{b\%\varphi(p)+\varphi(p)}  \ \ gcd(a,p)\neq1,b\geqslant \varphi(p)  \\ \end{cases}$

由于2的幂数是无穷的，肯定$>p$,所以可以直接使用$a^{b\%\varphi(p)+\varphi(p)} $

•代码

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define ll long long
 ll qpow(ll a,ll b,ll mod)
 {
     ll res=;
     while(b)
     {
         if(b&)
             res=res*a%mod;
         a=a*a%mod;
         b>>=;
     }
     return res;
 }

 ll phi(ll x)
 {
     ll res=x;
     for(int i=;i*i<=x;i++)
     {
         if(x%i==)
         {
             while(x%i==)
                 x/=i;
             res=res-res/i;
         }
     }
     if(x>)
         res=res-res/x;
     return res;
 }

 ll solve(ll m)
 {
     if(m==)
         return ;

     ll p=phi(m);
     return qpow(,solve(p)+p,m);
 }

 int main()
 {
     int t;
     cin>>t;
     while(t--)
     {
         ll m;
         cin>>m;
         cout<<solve(m)<<endl;
     }
 }