P1655 小朋友的球

题目描述

@发源于小朋友最近特别喜欢球。有一天他脑子抽了，从口袋里拿出了N个不同的球，想把它们放到M个相同的盒子里，并且要求每个盒子中至少要有一个球，他好奇有几种放法，于是尝试编程实现，但由于他天天不好好学习，只会上B站看游泳教练，于是他向你求助。

输入输出格式

输入格式：

多组数据，每行两个数N，M。

输出格式：

每组数据一行，表示方案数。

输入输出样例

输入样例#1：复制

4 2

1 1

输出样例#1：复制

7

1

说明

【样例解释】

N=4,M=2

1,2 3 4

2,1 3 4

3,1 2 4

4,1 2 3

1 2,3 4

1 3,2 4

1 4,2 3

对于20%的数据，满足1≤N，M≤10；

对于100%的数据，满足1≤N，M≤100，数据组数≤10。

洛谷题解：

简单的动态规划，但是要加上高精度运算，不然只能得 20 分。本题和放苹果有些类似，但是盒子不能空着不放，也就是楼下所说的 Stirling数，应用于组合数学领域
状态转移方程：f[i][j]=f[i−1][j−1]+f[i−1][j]×j

加一个盒子加一个球

加一个球

为什么不能加一个盒子，肯定不能加一个盒子，因为之前的是固定的

状态怎么转移

stirling数，递推公式s[i][j]=s[i-1][j]*j+s[i-1][j-1]这个在各类组合数学书籍上均有证明,现截取一段

S(p,k)的一个组合学解释是：将p个物体划分成k个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编号）集合的方法数。

k!S(p,k)是把p个人分进k间有差别(如：被标有房号）的房间(无空房）的方法数。

S(p,k)的递推公式是：S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1) ,1<= k<=p-1

边界条件：S(p,p)=1 ,p>=0 S(p,0)=0 ,p>=1

递推关系的说明：

考虑第p个物品，p可以单独构成一个非空集合，此时前p-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合，方法数为S(p-1,k-1)；

也可以前p-1种物品构成k个非空的不可辨别的集合，第p个物品放入任意一个中，这样有k*S(p-1,k)种方法。

注意：当m>n||m==0时直接输出0,！！！因为这个wa了好多次也就只要加上高精就行了，先贴上c++代码：

 #include<cmath>

 #include<cstdio>

 #include<cstdlib>

 #include<cstring>

 #include<iostream>

 #include<algorithm>

 #define inf 999999999

 #define For(i,a,b) for(i=a;i<=b;++i)

 #define rep(i,a,b) for(i=a;i>=b;--i)

 #define mm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

 #define ll long long

 using namespace std;

 ll read(){

     ll sum=,flag=;

     char c=getchar();

     while(c<''||c>''){if(c=='-')flag=-;c=getchar();}

     while(c>=''&&c<='')sum=sum*+c-'',c=getchar();

     return sum*flag;

 }

 ll maxx(ll x,ll y){

     if(x<y)return y;

     return x;

 }

 ll minn(ll x,ll y){

     if(x<y)return x;

     return y;

 }

 ll abss(ll x){

     if(x>=)return x;

     return -x;

 }

 struct node{

     ll a[],len;

     node(){mm(a,);len=;}//记得初始化

 };

 node t[][];

 node operator + (node c,node d){

     node h;h.len=maxx(c.len,d.len);

     int i;

     for(i=;i<=h.len;i++){

         h.a[i]+=c.a[i]+d.a[i];

         if(h.a[i]>=){

             h.a[i+]+=h.a[i]/;

             h.a[i]%=;

             if(i==h.len)h.len++;

         }

     }

     return h;

 }

 node operator * (node c,ll u){

     node h;h.len=c.len;

     int i;

     for(i=;i<=h.len;i++){

         h.a[i]+=c.a[i]*u;

         if(h.a[i]>=){

             h.a[i+]+=h.a[i]/;

             h.a[i]%=;

             if(i==h.len)h.len++;

         }

     }

     return h;

 }

 int main(){

     ll i,j,m,n;

     For(i,,)t[i][].a[]=,t[i][i].a[]=t[i][].a[]=,t[i][].len=t[i][i].len=t[i][].len=;

     For(i,,){

         For(j,,i-){

             t[i][j]=t[i-][j-]+t[i-][j]*j;

         }

     }

     while(scanf("%lld%lld",&m,&n)!=EOF){

         if(n==||n>m){printf("0\n");continue;}

         rep(i,t[m][n].len,)printf("%lld",t[m][n].a[i]);

         printf("\n");

     }

     return ;

 }