第一阶段集训（这篇先写写tarjan以及圆方树）

　　第一阶段的集训结束了w，不得不说oi太长时间不整是会退步的。

　　怎么说好呢，集训这几天过的很充实，知识收货很多，题调的也不少，自己的目标更明确了吧，不过这几天集训也是可以看出蒟蒻就是蒟蒻，还是太菜了。。。。不过会努力的w。

　　首先得感谢一下兔哥，假期还来给我们上课，还要饱受牙疼的折磨。。。再次感谢兔哥，%%%%%大神就是大神w。

　　结束之后想想这两天都记住什么了w，第一天讲了tarjan，印象最深的还是圆方树这个知识点吧，毕竟这个是个木有学习过的知识。

算了，要不我还是顺道复习一下强联通分量blabla什么的吧。。。。。。。

　　+ 强联通分量（不要告诉我博客园不支持markdown）。。。。

　　在有向图G中，如果两个顶点u，v之间存在一条路径u到v的路径而且也存在一条v到u的路径，则称这两个顶点u，v是强联通的。如果有向图G的每两个顶点都强联通，称G是一个强联通图。有向非强联通图的极大强联通子图，称之为强联通分量。若将有向图中的强联通分量都缩成一个点，则原图会形成一个DAG。

　　+ 那么我们一般求强联通分量的方法是tarjan，那么它是怎么实现的w？

　　其实，tarjan本质上是个dfs，dfs过程中向栈中push当前节点。当找到一个强联通分量的时候，（其包含的节点一定都在栈中连续排列），so我们把它们全部都pop掉，这些元素构成一个强联通分量。

　　每个节点u有两个值——dfn[u]和low[u]。dfn[u]就是dfs序中的位置，low[u]就是u经过最多一条栈中横叉边所能到达的dfn最小的点。这里我们解释一下什么是横叉边，因为我们tarjan是dfs，这棵dfs树上有原图上的边，在dfs树上由父亲指向儿子的叫做树枝边，由父亲指向儿子下面其他后代的叫做前向边，由后代指向祖先的叫做后向边，像其他的边（一个子树中的点指向另一个子树中的点）称之为横叉边。栈中横叉边，顾名思义，就是终点是栈里面元素的边。

　　那么问题来了，如何求我们这个所谓的“经过最多一条栈中横叉边能到达的dfn最小的点的dfn”（也就是low）？；

　　当我们dfs到的当前点为点u，枚举u能到达的点v。若v没被dfs过，递归dfs点v，并且用low[v]更新low[u]（就是low[u] = min(low[u],low[v])），如果v被dfs过且仍在栈中，说明u—>v这条边是一条栈中横叉边，用dfn[v]更新low[u]。

　　如果所有v枚举完以后，low[u]仍等于dfn[u],则此时栈中u及u以上的节点同属于一个强联通分量，要一起弹出。

　　此处应该有图片。。。。。我也不知道它能不能看到，应该可吧

　　然后我们说一说tarjan的性质：

　　　　+ 各个强联通分量出栈的顺序是一定的——就是缩点形成的DAG的拓扑序的逆序。

　　　　拓扑序就是DAG中的一种排序，要求任一条边的终点排在起点之后。

　　　　so，tarjan可以求拓扑序，好写？？？

　　tarjan的代码的话。

void tarjan(int u){
    dfn[u] = low[u] = ++idx;
    stk[+top] = u,ins[u] = 1;
    for(int i = adj[u],v;i;i = nxt[i]){
        if(!dfn[v = go[i]]){
            tarjan(v);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
        }
        else if(ins[v]){
            low[u] = min(low[u],low[v]);
        }
    }
    if(low[u] == dfn[u]){
        ncnt++;
        do{
            bel[stk[top]] = ncnt;
            ins[stk[top]] = 0;
        }while(stk[top--] != u);
    }
}

　　

　　例题讲了挺多w，像联通数（暴力bfs加02爆锤标程），以及迷失在公园里找不到方向（逛公园）

　　我记得还讲了无向图的tarjan来着？？？？

　　这个好像需要引入几个概念？？？

　　　　+ 割点：将这个点删去后图不连通；

　　　　+ 割边： 讲这条边删去后图不连通；

　　　　+ 点双联通分量：无割点的极大联通子图。

　　　　+ 边双联通分量：无割边的极大联通子图。

　　然后如何用tarjan求割边，边双？

　　　　在无向图的dfs树中，原图中的边不可能是横叉边，只可能是前（后）向边或树枝边。所以无向图的tarjan相比有向图很好写，无需讨论某条边是否为栈中横叉边。

　　　　一条无向边（u,v）是割边（dfn[u] < dfn[v]）当且仅当它是树枝边，而且low[v] > dfn[u]（这时子树v中所有点不能到达子树之外）

　　　　这时我们发现，删去原图中所有割边，剩下的连通块都是边双。

　　然后还有tarjan求割点qww

　　　　当u不是dfs树的根的时候，对于树枝边（u，v）（u为v的父亲），如果low[v] >= dfn[u],就是子树v中的点都不通往到子树u之外，那么删去点u，子树v中的点与子树u以外的点不了联通，u为割点。

　　　　但是呢，当u是dfs的根的时候，判断low[v] >= dfn[u]是不够的。因为对于任意的v都满足这个条件啊w，（当子树u以外没有点，上面判断割点的理由就不成立了w）。

　　　　so，我们怎么判断呢？如果u有至少两个子树，则u是割点，只有一个子树，u不是割点。

　　　　还有要值得注意的是，删去所有割点，剩下的联通块并不是点双qww。（这个还挺显然的吧）。

　　　　那么我们怎么求点双呢？？？

　　　　其中一种求点双的方法是把边push进栈中，当发现low[v] >= dfn[u]时，把边（u,v）及它以上的所有边从栈中弹出，这些边所涉及的点共同形成一个点双（显然包括u）。

　　　　另一种方法是像别的tarjan算法一样把点压入栈中，当发现low[v]  >= dfn[u]时，把v及v以上的点从栈中弹出，再加上u，共同形成一个点双。代码的话。。。。。

　　　　tarjan求割点：

void tarjan(int u,int pre){
    int v,child_cnt = 0;
    dfn[u] = low[u] ++index;
    for(int i = head[u];i;i = nxt[i]){
        if(!dfn[v = to[i]]){
            tarjan(v,u);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
            if(low[v] >= dfn[u]){
                child_cnt++;
                iscut[u] = 1;
            ｝
        else if(v != pre){
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if(u == 1 && child_cnt == 1)
        iscut[u] = 0;
}

　　　　求割边，边双代码：

void tarjan(int u,int pre){
    stk[++top] = u;
    dfn[u] = low[u] = ++idx;
    for(int i = head[u],v;i;i = nxt[i]){
        if(!dfn[v = to[i]]){
            tarjan(v,u);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
            if(low[v] > dfn[u]){
                is_bridge[i] = is_bridge[i ^ 1] = 1;
                cnt++;
                do
                    bel[stk[top]] = cnt;
                while(stk[top--] != v);
            }
        ｝
         else if(v != pre){
                low[u] = min(low[u],dfn[u]);
         }
    }
}

　　下面终于进入了我们正题了，圆方树！！！！！！！！！！！

　　what is it?

　　　　一个无向联通图可以对应一棵圆方树（广义的）。

　　　　圆方树中有圆点和方点。

　　　　圆点是原图中存在的点，方点对应原图的点双。原图中跨点双的边予以保留，点双内部的边删掉，同时所有方点与其对应点双中的圆点连边。

　　　　此处应该有图片：

　　　　

　　那么我们怎么建一棵圆方树呢？

　　　　我们新建一个链前，按照定义对每个点双建一个方点，然后把它和点双中的所有点连边，再把原图中跨点双的边也连上。

　　　　显然，可以一边tarjan求点双，一边把边连了。　　

在这里举一道棵题：

　　给出一张图，点有点权，每次询问两点之间的简单路径中，权值的最小值最小是多少。n，m，q <=1000000.

　　这个题我们把圆方树建出，方点权值为包含圆点权值最小值，然后这个问题就转化成了求链上最小值。可倍增，可树剖。。。。over