https://blog.csdn.net/daijin888888/article/details/66970902

一、算法的时间复杂度定义

在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度,也就是算法的时间量度。记作:T(n)=O(f(n))。它表示随问题n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐进时间复杂度,简称为时间复杂度。其中,f(n)是问题规模n的某个函数。

这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法,我们称之为大0记法。

二、推导大O阶方法

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

三、推导示例

1、常数阶

首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法,是利用高斯定理计算1,2,……n个数的和。

int sum = 0, n = 100; /*执行一次*/
sum = (1 + n) * n / 2; /*执行一次*/
printf("%d",sum); /*执行一次*/
     这个算法的运行次数函数是f (n)  =3。 根据我们推导大0阶的方法,第一步就是把常数项3 改为1。在保留最高阶项时发现,它根本没有最高阶项,所以这个算法的时间复杂度为0(1)。
     另外,我们试想一下,如果这个算法当中的语句 sum = (1+n)*n/2; 有10 句,则与示例给出的代码就是3次和12次的差异。这种与问题的大小无关(n的多少),执行时间恒定的算法,我们称之为具有O(1)的时间复杂度,又叫常数阶。对于分支结构而言,无论是真,还是假,执行的次数都是恒定的,不会随着n 的变大而发生变化,所以单纯的分支结构(不包含在循环结构中),其时间复杂度也是0(1)。
2、线性阶

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次,我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此,我们要分析算法的复杂度,关键就是要分析循环结构的运行情况。

下面这段代码,它的循环的时间复杂度为O(n), 因为循环体中的代码须要执行n次。

int i;
for(i = 0; i < n; i++){
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}
3、对数阶

如下代码:

int count = 1;
while (count < n){
count = count * 2;
  /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}
    由于每次count乘以2之后,就距离n更近了一分。 也就是说,有多少个2相乘后大于n,则会退出循环。 由2^x=n 得到x=logn。 所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。
4、平方阶

下面例子是一个循环嵌套,它的内循环刚才我们已经分析过,时间复杂度为O(n)。

int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = 0; j < n; j++){
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}
}
    而对于外层的循环,不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句,再循环n次。 所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。
    如果外循环的循环次数改为了m,时间复杂度就变为O(mXn)。

所以我们可以总结得出,循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。
    那么下面这个循环嵌套,它的时间复杂度是多少呢?

int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = i; j < n; j++){ /*注意j = i而不是0*/
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}
}
    由于当i=0时,内循环执行了n次,当i = 1时,执行了n-1次,……当i=n-1时,执行了1次。所以总的执行次数为:

用我们推导大O阶的方法,第一条,没有加法常数不予考虑;第二条,只保留最高阶项,因此保留时(n^2)/2; 第三条,去除这个项相乘的常数,也就是去除1/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n2)。

从这个例子,我们也可以得到一个经验,其实理解大0推导不算难,难的是对数列的一些相关运算,这更多的是考察你的数学知识和能力。

5、立方阶

下面例子是一个三重循环嵌套。

int i, j;
for(i = 1; i < n; i++)
for(j = 1; j < n; j++)
for(j = 1; j < n; j++){
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/

}
    这里循环了(1^2+2^2+3^2+……+n^2) = n(n+1)(2n+1)/6次,按照上述大O阶推导方法,时间复杂度为O(n^3)。
四、常见的时间复杂度

常见的时问复杂度如表所示。

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是:

我们前面已经谈到了。O(1)常数阶、O(logn)对数阶、O(n)线性阶、 O(n^2)平方阶等,像O(n^3),过大的n都会使得结果变得不现实。同样指数阶O(2^n)和阶乘阶O(n!)等除非是很小的n值,否则哪怕n 只是100,都是噩梦般的运行时间。所以这种不切实际的算法时间复杂度,一般我们都不去讨论。

五、最坏情况与平均情况

我们查找一个有n 个随机数字数组中的某个数字,最好的情况是第一个数字就是,那么算法的时间复杂度为O(1),但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着,那么算法的时间复杂度就是O(n),这是最坏的一种情况了。
    最坏情况运行时间是一种保证,那就是运行时间将不会再坏了。 在应用中,这是一种最重要的需求, 通常, 除非特别指定, 我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
    而平均运行时间也就是从概率的角度看, 这个数字在每一个位置的可能性是相同的,所以平均的查找时间为n/2次后发现这个目标元素。平均运行时间是所有情况中最有意义的,因为它是期望的运行时间。也就是说,我们运行一段程序代码时,是希望看到平均运行时间的。可现实中,平均运行时间很难通过分析得到,一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。一般在没有特殊说明的情况下,都是指最坏时间复杂度。

六、算法空间复杂度

我们在写代码时,完全可以用空间来换取时间,比如说,要判断某某年是不是闰年,你可能会花一点心思写了一个算法,而且由于是一个算法,也就意味着,每次给一个年份,都是要通过计算得到是否是闰年的结果。 还有另一个办法就是,事先建立一个有2050个元素的数组(年数略比现实多一点),然后把所有的年份按下标的数字对应,如果是闰年,此数组项的值就是1,如果不是值为0。这样,所谓的判断某一年是否是闰年,就变成了查找这个数组的某一项的值是多少的问题。此时,我们的运算是最小化了,但是硬盘上或者内存中需要存储这2050个0和1。这是通过一笔空间上的开销来换取计算时间的小技巧。到底哪一个好,其实要看你用在什么地方。
    算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现,算法空间复杂度的计算公式记作:S(n)= O(f(n)),其中,n为问题的规模,f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
    一般情况下,一个程序在机器上执行时,除了需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外,还需要存储对数据操作的存储单元,若输入数据所占空间只取决于问题本身,和算法无关,这样只需要分析该算法在实现时所需的辅助单元即可。若算法执行时所需的辅助空间相对于输入数据量而言是个常数,则称此算法为原地工作,空间复杂度为0(1)。
     通常, 我们都使用"时间复杂度"来指运行时间的需求,使用"空间复杂度"指空间需求。当不用限定词地使用"复杂度'时,通常都是指时间复杂度。

七、一些计算的规则

1、加法规则

T(n,m) = T1(n) + T2(m) = O(max{f(n), g(m)})

2、乘法规则

T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O(max{f(n)*g(m)})

3、一个经验

复杂度与时间效率的关系:
    c(常数) < logn < n < n*logn < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!
    l------------------------------l--------------------------l--------------l
                   较好                          一般                    较差

八、常用算法的时间复杂度和空间复杂度

复杂度O(n)计算的更多相关文章

  1. OSPF的特征、术语、包类型、邻居关系的建立、RID的选择、DR和BDR的选举、度量值的计算、默认路由、验证

    链路状态路由协议OSPF的特征.术语.包类型.邻居关系的建立.RID的选择.DR和BDR的选举.度量值的计算.默认路由.验证等. 文章目录 [*1*].链路状态路由协议概述 工作过程 优缺点 [*2* ...

  2. 数据可视化之DAX篇(二)Power BI中的度量值和计算列,你搞清楚了吗?

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/75462046 对于初学者,总是会把度量值和计算列搞混,我也经常碰到这样的问题,有些星友用文章中的代码总是报错,发给我一看,才知道TA把本来 ...

  3. 相似度与距离计算python代码实现

    #定义几种距离计算函数 #更高效的方式为把得分向量化之后使用scipy中定义的distance方法 from math import sqrt def euclidean_dis(rating1, r ...

  4. 三【相关度 相似度查询与计算】相似度到大数据查找之Mysql 文章匹配的一些思路与提高查询速度

    记录下,在上2回的数据基础之上,附带一个互信息(MI,Mutual Information)可以计算词之间的相关度 标准互信息 MI(X,Y)=log2p(x,y)/p(x)p(y) 值越大于0 则趋 ...

  5. NLP相似度之tf-idf计算

    当然,在学习过程中也是参考了很多其他的资料,代码都是一行一行敲出来的. 一.将多个文件合并成一个文件,避免频繁的打开和关闭 import sys for line in sys.stdin: ss = ...

  6. 九度OJ 1000:计算a+b

    时间限制:1 秒 内存限制:32 兆 特殊判题:否 提交:35767 解决:15660 题目描述: 求整数a,b的和. 输入: 测试案例有多行,每行为a,b的值. 输出: 输出多行,对应a+b的结果. ...

  7. 皮尔逊相似度计算的例子(R语言)

    编译最近的协同过滤算法皮尔逊相似度计算.下顺便研究R简单使用的语言.概率统计知识. 一.概率论和统计学概念复习 1)期望值(Expected Value) 由于这里每一个数都是等概率的.所以就当做是数 ...

  8. LSF-SCNN:一种基于 CNN 的短文本表达模型及相似度计算的全新优化模型

    欢迎大家前往腾讯云社区,获取更多腾讯海量技术实践干货哦~ 本篇文章是我在读期间,对自然语言处理中的文本相似度问题研究取得的一点小成果.如果你对自然语言处理 (natural language proc ...

  9. 皮尔森相似度计算举例(R语言)

    整理了一下最近对协同过滤推荐算法中的皮尔森相似度计算,顺带学习了下R语言的简单使用,也复习了概率统计知识. 一.概率论和统计学概念复习 1)期望值(Expected Value) 因为这里每个数都是等 ...

随机推荐

  1. SpringBoot整合cxf发布webService

    1. 看看项目结构图 2. cxf的pom依赖 1 <dependency>2 <groupId>org.apache.cxf</groupId>3 <art ...

  2. QT编译错误:undefined reference to `__imp_gl*'等等

    学习QT OpenGL绘制图形,程序中使用了OpenGL的API函数(gl开头),但是编译出现了错误:截图如下 有过编程经验的人可知,是链接的时候出错,找不到函数的实现! 解决方法:在工程*.pro文 ...

  3. 模式(一)javascript设计模式

    模式有三种:Architectural Pattern.Design Pattern.Coding Pattern,即:框架模式.设计模式.编程模式.本文主要讲解javascript中的设计模式,好的 ...

  4. 时间戳Id

    ID:格式据1970.1.1毫秒数 1535091029740  13位 问题:高并发,分布式明显会有问题,网上有雪花算法,但是位数跟我需要的不一样,暂时不考虑,以后研究再用. 参考: https:/ ...

  5. SpringMVC由浅入深day01_8springmvc和mybatis整合

    8 springmvc和mybatis整合 为了更好的学习 springmvc和mybatis整合开发的方法,需要将springmvc和mybatis进行整合. 整合目标:控制层采用springmvc ...

  6. 【代码审计】QYKCMS_v4.3.2 任意文件删除漏洞分析

      0x00 环境准备 QYKCMS官网:http://www.qykcms.com/ 网站源码版本:QYKCMS_v4.3.2(企业站主题) 程序源码下载:http://bbs.qingyunke. ...

  7. N76E003之IIC

    I2C 总线提供了一种串行通信方式,用在 MCU 与 EEPROM,LCD模块,温度传感器等等之间控制.I2C 用两条线 (数据线SDA 和时钟线 SCL) 在设备间传输数据.I2C 总线用作主机与从 ...

  8. 如何让移植的嵌入式ARM显示中文汉字

    如果你急于在ARM开发板上看到Qt显示中文,而不介意稍次的效果,可以在运行Qt程序时,增加设置字体的参数,比如运行名为hello的Qt程序:./hello -fn unifont 1.首先,需要文泉驿 ...

  9. linux系统环境搭建

    一.安装jdk 参考帖子 用yum安装JDK(CentOS) 1.查看yum库中都有哪些jdk版本 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [r ...

  10. linux下删除大量小文件

    当目录下文件太多时,用rm删除文件会报错:-bash: /bin/rm: Argument list too long提示文件数目太多.解决的办法是使用如下命令:ls | xargs -n 10 rm ...