ACM数论之旅10---大组合数-卢卡斯定理(在下卢卡斯,你是我的Master吗?(。-`ω´-) )
记得前几章的组合数吧
我们学了O(n^2)的做法,加上逆元,我们又会了O(n)的做法
现在来了新问题,如果n和m很大呢,
比如求C(n, m) % p , n<=1e18,m<=1e18,p<=1e5
看到没有,n和m这么大,但是p却很小,我们要利用这个p
(数论就是这么无聊的东西,我要是让n=1e100,m=1e100,p=1e100你有本事给我算啊(°□°),还不是一样算不出来)
然后,我们著名的卢卡斯(Lucas)在人群中站了出来(`・д・´)说:“让老子来教你这题”
卢卡斯说:
C(n, m) % p = C(n / p, m / p) * C(n%p, m%p) % p
对于C(n / p, m / p),如果n / p 还是很大,可以递归下去,一直到世界的尽头
众人闻此言,无不惊叹,妙哉!妙哉!
(笑死我了o(*≧▽≦)ツ┏━┓拍桌狂笑)
(不要问我证明过程,我不费(´・ω・`))
然后上代码
LL Lucas(LL n, LL m, int p){
return m ? Lucas(n/p, m/p, p) * comb(n%p, m%p, p) % p : ;
}
简洁易懂<( ̄︶ ̄)>
实战一下吧
hdu 5446
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5446
题意:
给你三个数n, m, k
第二行是k个数,p1,p2,p3...pk
所有p的值不相同且p都是质数
求C(n, m) % (p1*p2*p3*...*pk)的值
范围:1≤m≤n≤1e18,1≤k≤10,pi≤1e5,保证p1*p2*p3*...*pk≤1e18
AC代码:
#include<cstdio>
typedef long long LL;
const int N = + ;
LL mul(LL a, LL b, LL p){//快速乘,计算a*b%p
LL ret = ;
while(b){
if(b & ) ret = (ret + a) % p;
a = (a + a) % p;
b >>= ;
}
return ret;
}
LL fact(int n, LL p){//n的阶乘求余p
LL ret = ;
for (int i = ; i <= n ; i ++) ret = ret * i % p ;
return ret ;
}
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
if (!b) {d = a, x = , y = ;}
else{
ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
y -= x * (a / b);
}
}
LL inv(LL t, LL p){//如果不存在,返回-1
LL d, x, y;
ex_gcd(t, p, x, y, d);
return d == ? (x % p + p) % p : -;
}
LL comb(int n, int m, LL p){//C(n, m) % p
if (m < || m > n) return ;
return fact(n, p) * inv(fact(m, p), p) % p * inv(fact(n-m, p), p) % p;
}
LL Lucas(LL n, LL m, int p){
return m ? Lucas(n/p, m/p, p) * comb(n%p, m%p, p) % p : ;
}
LL china(int n, LL *a, LL *m){//中国剩余定理
LL M = , ret = ;
for(int i = ; i < n; i ++) M *= m[i];
for(int i = ; i < n; i ++){
LL w = M / m[i];
//ret = (ret + w * inv(w, m[i]) * a[i]) % M;//这句写了会WA,用下面那句
ret = (ret + mul(w * inv(w, m[i]), a[i], M)) % M;
//因为这里直接乘会爆long long ,所以我用快速乘(unsigned long long也是爆掉,除非用高精度)
}
return (ret + M) % M;
}
int main(){
int T, k;
LL n, m, p[], r[];
scanf("%d", &T);
while(T--){
scanf("%I64d%I64d%d", &n, &m, &k);
for(int i = ; i < k; i ++){
scanf("%I64d", &p[i]);
r[i] = Lucas(n, m, p[i]);
}
printf("%I64d\n", china(k, r, p));
}
}
我们知道题目要求C(n, m) % (p1*p2*p3*...*pk)的值
其实这个就是中国剩余定理最后算出结果后的最后一步求余
那C(n, m)相当于以前我们需要用中国剩余定理求的值
然而C(n, m)太大,我们只好先算出
C(n, m) % p1 = r1
C(n, m) % p2 = r2
C(n, m) % p3 = r3
.
.
.
C(n, m) % pk = rk
用Lucas,这些r1,r2,r3...rk可以算出来
然后又是用中国剩余定理求答案
全都是套路。。。
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