柯朗微积分与数学分析习题选解(1.3 节 b)

一直在读《陶哲轩实分析》，陶的书非常的严谨，环环相扣，但是也有个缺点就是计算性的例子和应用方面的例子太少了。所以就又找了本柯朗的《微积分与数学分析》搭配着看。柯朗的书的习题与陶的风格完全不同，里面有大量的考察技巧性的习题，有些题相当有难度，第一卷又没有提供习题答案。我试着解了一小部分习题，放到这里，供有需要的同学参考。能力有限，有些题确实搞不定，有些题给的答案可能是错的。所以仅供参考。

柯朗微积分与数学分析习题选解(1.3 节 b)

这一小节只有一道习题。这道题还是有些难度的，我是看了提示后才做出来的。

(a) 试证明 x√ 不是有理函数。

(b) 试证明 x√n 不是有理函数。

反证法：

如果 x√ 可以表示成有理函数的形式，也就是：

x√=a0+a1x+⋯+apxpb0+b1x+⋯+bqxq

对任意的x≥0 都成立。

设 x=y2 则有：

y=a0+a1y2+⋯+apy2pb0+b1y2+⋯+bqy2q

这个式子则对任何的 y 都成立。也就是：

a0+a1y2+⋯+apy2p=y(b0+b1y2+⋯+bqy2q)⇒a0−b0y+a1y2−b1y3+a2y4+⋯=0

这个多项式对任意的 y 都成立。

而我们知道一个 n 次多项式有无穷个根只有一种情况，就是多项式的所有系数都是 0，也就是 {am}pm=0 和 {bm}qm=0 都是 0。而有理函数的分母多项式不能全是 0，这里推出矛盾，所以x√ 不是有理函数。

如果 x√n 可以表示成有理函数的形式，也就是：

x√n=a0+a1x+⋯+apxpb0+b1x+⋯+bqxq

对任意的x≥0 都成立。

设 x=yn 则有：

y=a0+a1yn+⋯+aqynpb0+b1yn+⋯+bqynq

这个式子则对任何的 y 都成立。也就是：

a0+a1yn+⋯+apynp=y(b0+b1yn+⋯+bqynq)⇒a0−b0y+a1yn−b1yn+1+a2y2n+⋯=0

这个多项式对任意的 y 都成立。

而我们知道一个 n 次多项式有无穷个根只有一种情况，就是多项式的所有系数都是 0，也就是 {am}pm=0 和 {bm}qm=0 都是 0。而有理函数的分母多项式不能全是 0，这里推出矛盾，所以x√ 不是有理函数。