bzoj 4816: 洛谷 P3704: [SDOI2017]数字表格

洛谷很早以前就写过了，今天交到bzoj发现TLE了。

检查了一下发现自己复杂度是错的。

题目传送门：洛谷P3704。

题意简述：

求 \(\prod_{i=1}^{N}\prod_{j=1}^{M}F_{\gcd(i,j)}\bmod mod\) ，其中 \(F_{i}\) 是斐波那契数列的第 \(i\) 项， \(mod=10^9+7\) 。

\(T\) 组数据。

题解：

喜闻乐见的推式子时间。

不失一般性，假设 \(N\le M\) 。

\[\begin{aligned}&\prod_{i=1}^{N}\prod_{j=1}^{M}F_{\gcd(i,j)} \\=&\prod_{k=1}^{N}{F_{k}}^{\left(\sum_{i=1}^{N}\;\sum_{j=1}^{M}\;\left[\gcd(i,j)=k\right]\right)}\end{aligned}\]

右上角的指数部分是老套路了。

\[\begin{align*}&= \sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}\left[\gcd(i,j)=k\right]\\&= \sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{N}{k}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{M}{k}\right\rfloor}\left[\gcd(i,j)=1\right]\\&= \sum_{d=1}^{\left\lfloor\frac{N}{k}\right\rfloor}\mu(d)\left\lfloor\frac{N}{kd}\right\rfloor\left\lfloor\frac{M}{kd}\right\rfloor\end{align*}\]

所以

\[\begin{align*} &= \prod_{k=1}^{N}{F_{k}}^{\left(\sum_{d=1}^{\left\lfloor\frac{N}{k}\right\rfloor}\mu(d)\left\lfloor\frac{N}{kd}\right\rfloor\left\lfloor\frac{M}{kd}\right\rfloor\right)}\\ &= \prod_{T=1}^{N}\left(\prod_{k|T}{F_{k}}^{\mu(\frac{T}{k})}\right)^{\left\lfloor\frac{N}{T}\right\rfloor\left\lfloor\frac{M}{T}\right\rfloor} \end{align*}\]

令 \(f(n)=\prod_{d|n}{F_{d}}^{\mu(\frac{n}{d})}\) 。

则

\[=\prod_{T=1}^{N}{f(T)}^{\left\lfloor\frac{N}{T}\right\rfloor\left\lfloor\frac{M}{T}\right\rfloor}\]

外层数论分块求出。内层的 \(f(T)\) 直接暴力预处理，每个数直接乘到它的倍数中，复杂度 \(\Theta(n\log n)\)。

注意实现的时候的时间复杂度，我因为实现多了快速幂的一个 \(\log\) 被卡了。

正确的时间复杂度应该是 \(\Theta(N(\log N+\log mod)+T\sqrt{N}\log mod)\) 。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 #define mod 1000000007
 #define LL long long

 int Pow(int b, LL e) {
     if (e < ) e += mod - ;
     int a = ;
     for (; e; b = (LL)b * b % mod, e >>= )
         if (e & ) a = (LL)a * b % mod;
     return a;
 }

 bool ip[];
 int p[], pc;
 int mu[];
 int f[], fr[];

 void init() {

     ip[] = ;
     mu[] = ;

     for (int i = ; i <= ; ++i) {
         if (!ip[i]) {
             p[++pc] = i;
             mu[i] = -;
         }
         for (int j = ; j <= pc && (LL)p[j] * i <= ; ++j) {
             register int k = p[j] * i;
             ip[k] = ;
             if (i % p[j]) mu[k] = -mu[i];
             else break;
         }
     }

     for (int i = ; i <= ; ++i)
         f[i] = , fr[i] = ;

     int A = , B = ;
     for (int i = ; i <= ; ++i) {
         B = (A + B) % mod;
         A = (B - A + mod) % mod;
         int G[] = {Pow(B, -), , B};
         for (int j = i, k = ; j <= ; j += i, ++k) {
             f[j] = (LL)f[j] * G[mu[k] + ] % mod,
             fr[j] = (LL)fr[j] * G[ - mu[k]] % mod;
         }
     }

     f[] = fr[] = ;
     for (int i = ; i <= ; ++i)
         f[i] = (LL)f[i - ] * f[i] % mod,
         fr[i] = (LL)fr[i - ] * fr[i] % mod;
 }

 int main() {
     init();
     int T;
     scanf("%d", &T);
     while (T--) {
         int N, M;
         scanf("%d%d", &N, &M);
         if (N > M) swap(N, M);
         int A = ;
         for (int i = , j; i <= N; i = j + ) {
             j = min(N / (N / i), M / (M / i));
             A = (LL)A * Pow((LL)f[j] * fr[i - ] % mod, (LL)(N / i) * (M / i)) % mod;
         }
         printf("%d\n", A);
     }
     return ;
 }