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Matrix的数学原理

平移变换

旋转变换

缩放变换

错切变换

对称变换

代码验证

Matrix的数学原理

在Android中，如果你用Matrix进行过图像处理，那么一定知道Matrix这个类。Android中的Matrix是一个3 x 3的矩阵，其内容如下：

Matrix的对图像的处理可分为四类基本变换：

Translate           平移变换

Rotate                旋转变换

Scale                  缩放变换

Skew                  错切变换

从字面上理解，矩阵中的MSCALE用于处理缩放变换，MSKEW用于处理错切变换，MTRANS用于处理平移变换，MPERSP用于处理透视变换。实际中当然不能完全按照字面上的说法去理解Matrix。同时，在Android的文档中，未见到用Matrix进行透视变换的相关说明，所以本文也不讨论这方面的问题。

针对每种变换，Android提供了pre、set和post三种操作方式。其中

set用于设置Matrix中的值。

pre是先乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。先乘相当于矩阵运算中的右乘。

post是后乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。后乘相当于矩阵运算中的左乘。

除平移变换(Translate)外，旋转变换(Rotate)、缩放变换(Scale)和错切变换(Skew)都可以围绕一个中心点来进行，如果不指定，在默认情况下是围绕(0, 0)来进行相应的变换的。

下面我们来看看四种变换的具体情形。由于所有的图形都是有点组成，因此我们只需要考察一个点相关变换即可。

一、 平移变换

假定有一个点的坐标是 ，将其移动到 ，再假定在x轴和y轴方向移动的大小分别为：

如下图所示：

不难知道：

如果用矩阵来表示的话，就可以写成：

 

二、 旋转变换

2.1    围绕坐标原点旋转：

假定有一个点 ，相对坐标原点顺时针旋转后的情形，同时假定P点离坐标原点的距离为r，如下图：

那么，

如果用矩阵，就可以表示为：

2.2    围绕某个点旋转

如果是围绕某个点顺时针旋转，那么可以用矩阵表示为：

可以化为：

很显然，

1.

是将坐标原点移动到点后， 的新坐标。

2.

是将上一步变换后的，围绕新的坐标原点顺时针旋转 。

3.

经过上一步旋转变换后，再将坐标原点移回到原来的坐标原点。

所以，围绕某一点进行旋转变换，可以分成3个步骤，即首先将坐标原点移至该点，然后围绕新的坐标原点进行旋转变换，再然后将坐标原点移回到原先的坐标原点。

三、 缩放变换

理论上而言，一个点是不存在什么缩放变换的，但考虑到所有图像都是由点组成，因此，如果图像在x轴和y轴方向分别放大k1和k2倍的话，那么图像中的所有点的x坐标和y坐标均会分别放大k1和k2倍，即

用矩阵表示就是：

缩放变换比较好理解，就不多说了。

四、 错切变换

错切变换(skew)在数学上又称为Shear mapping(可译为“剪切变换”)或者Transvection(缩并)，它是一种比较特殊的线性变换。错切变换的效果就是让所有点的x坐标(或者y坐标)保持不变，而对应的y坐标(或者x坐标)则按比例发生平移，且平移的大小和该点到x轴(或y轴)的垂直距离成正比。错切变换，属于等面积变换，即一个形状在错切变换的前后，其面积是相等的。

比如下图，各点的y坐标保持不变，但其x坐标则按比例发生了平移。这种情况将水平错切。

下图各点的x坐标保持不变，但其y坐标则按比例发生了平移。这种情况叫垂直错切。

假定一个点经过错切变换后得到，对于水平错切而言，应该有如下关系：

用矩阵表示就是：

扩展到3 x 3的矩阵就是下面这样的形式：

同理，对于垂直错切，可以有：

在数学上严格的错切变换就是上面这样的。在Android中除了有上面说到的情况外，还可以同时进行水平、垂直错切，那么形式上就是：

五、 对称变换

除了上面讲到的4中基本变换外，事实上，我们还可以利用Matrix，进行对称变换。所谓对称变换，就是经过变化后的图像和原图像是关于某个对称轴是对称的。比如，某点 经过对称变换后得到，

如果对称轴是x轴，难么，

用矩阵表示就是：

如果对称轴是y轴，那么，

用矩阵表示就是：

如果对称轴是y = x，如图：

那么，

很容易可以解得：

用矩阵表示就是：

同样的道理，如果对称轴是y = -x，那么用矩阵表示就是：

特殊地，如果对称轴是y = kx，如下图：

那么，

很容易可解得：

用矩阵表示就是：

当k = 0时，即y = 0，也就是对称轴为x轴的情况；当k趋于无穷大时，即x = 0，也就是对称轴为y轴的情况；当k =1时，即y = x，也就是对称轴为y = x的情况；当k = -1时，即y = -x，也就是对称轴为y = -x的情况。不难验证，这和我们前面说到的4中具体情况是相吻合的。

如果对称轴是y = kx + b这样的情况，只需要在上面的基础上增加两次平移变换即可，即先将坐标原点移动到(0, b)，然后做上面的关于y = kx的对称变换，再然后将坐标原点移回到原来的坐标原点即可。用矩阵表示大致是这样的：

需要特别注意：在实际编程中，我们知道屏幕的y坐标的正向和数学中y坐标的正向刚好是相反的，所以在数学上y = x和屏幕上的y = -x才是真正的同一个东西，反之亦然。也就是说，如果要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y = x对称，那么需使用这种转换：

要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y = -x对称，那么需使用这种转换：

关于对称轴为y = kx 或y = kx + b的情况，同样需要考虑这方面的问题。

第二部分 代码验证

在第一部分中讲到的各种图像变换的验证代码如下，一共列出了10种情况。如果要验证其中的某一种情况，只需将相应的代码反注释即可。试验中用到的图片：

其尺寸为162 x 251。

每种变换的结果，请见代码之后的说明。

  1. <span style="font-size:13px;"></span><pre name="code" class="java">package com.pat.testtransformmatrix;
  2. import android.app.Activity;
  3. import android.content.Context;
  4. import android.graphics.Bitmap;
  5. import android.graphics.BitmapFactory;
  6. import android.graphics.Canvas;
  7. import android.graphics.Matrix;
  8. import android.os.Bundle;
  9. import android.util.Log;
  10. import android.view.MotionEvent;
  11. import android.view.View;
  12. import android.view.Window;
  13. import android.view.WindowManager;
  14. import android.view.View.OnTouchListener;
  15. import android.widget.ImageView;
  16. public class TestTransformMatrixActivity extends Activity
  17. implements
  18. OnTouchListener
  19. {
  20. private TransformMatrixView view;
  21. @Override
  22. public void onCreate(Bundle savedInstanceState)
  23. {
  24. super.onCreate(savedInstanceState);
  25. requestWindowFeature(Window.FEATURE_NO_TITLE);
  26. this.getWindow().setFlags(WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN, WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN);
  27. view = new TransformMatrixView(this);
  28. view.setScaleType(ImageView.ScaleType.MATRIX);
  29. view.setOnTouchListener(this);
  30. setContentView(view);
  31. }
  32. class TransformMatrixView extends ImageView
  33. {
  34. private Bitmap bitmap;
  35. private Matrix matrix;
  36. public TransformMatrixView(Context context)
  37. {
  38. super(context);
  39. bitmap = BitmapFactory.decodeResource(getResources(), R.drawable.sophie);
  40. matrix = new Matrix();
  41. }
  42. @Override
  43. protected void onDraw(Canvas canvas)
  44. {
  45. // 画出原图像
  46. canvas.drawBitmap(bitmap, 0, 0, null);
  47. // 画出变换后的图像
  48. canvas.drawBitmap(bitmap, matrix, null);
  49. super.onDraw(canvas);
  50. }
  51. @Override
  52. public void setImageMatrix(Matrix matrix)
  53. {
  54. this.matrix.set(matrix);
  55. super.setImageMatrix(matrix);
  56. }
  57. public Bitmap getImageBitmap()
  58. {
  59. return bitmap;
  60. }
  61. }
  62. public boolean onTouch(View v, MotionEvent e)
  63. {
  64. if(e.getAction() == MotionEvent.ACTION_UP)
  65. {
  66. Matrix matrix = new Matrix();
  67. // 输出图像的宽度和高度(162 x 251)
  68. Log.e("TestTransformMatrixActivity", "image size: width x height = " +  view.getImageBitmap().getWidth() + " x " + view.getImageBitmap().getHeight());
  69. // 1. 平移
  70. matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), view.getImageBitmap().getHeight());
  71. // 在x方向平移view.getImageBitmap().getWidth()，在y轴方向view.getImageBitmap().getHeight()
  72. view.setImageMatrix(matrix);
  73. // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  74. float[] matrixValues = new float[9];
  75. matrix.getValues(matrixValues);
  76. for(int i = 0; i < 3; ++i)
  77. {
  78. String temp = new String();
  79. for(int j = 0; j < 3; ++j)
  80. {
  81. temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  82. }
  83. Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  84. }
  85. //          // 2. 旋转(围绕图像的中心点)
  86. //          matrix.setRotate(45f, view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);
  87. //
  88. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  89. //          matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth() * 1.5f, 0f);
  90. //          view.setImageMatrix(matrix);
  91. //
  92. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  93. //          float[] matrixValues = new float[9];
  94. //          matrix.getValues(matrixValues);
  95. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  96. //          {
  97. //              String temp = new String();
  98. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  99. //              {
  100. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  101. //              }
  102. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  103. //          }
  104. //          // 3. 旋转(围绕坐标原点) + 平移(效果同2)
  105. //          matrix.setRotate(45f);
  106. //          matrix.preTranslate(-1f * view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f * view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);
  107. //          matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);
  108. //
  109. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  110. //          matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth() * 1.5f, 0f);
  111. //          view.setImageMatrix(matrix);
  112. //
  113. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  114. //          float[] matrixValues = new float[9];
  115. //          matrix.getValues(matrixValues);
  116. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  117. //          {
  118. //              String temp = new String();
  119. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  120. //              {
  121. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  122. //              }
  123. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  124. //          }
  125. //          // 4. 缩放
  126. //          matrix.setScale(2f, 2f);
  127. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  128. //          float[] matrixValues = new float[9];
  129. //          matrix.getValues(matrixValues);
  130. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  131. //          {
  132. //              String temp = new String();
  133. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  134. //              {
  135. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  136. //              }
  137. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  138. //          }
  139. //
  140. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  141. //          matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), view.getImageBitmap().getHeight());
  142. //          view.setImageMatrix(matrix);
  143. //
  144. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  145. //          matrixValues = new float[9];
  146. //          matrix.getValues(matrixValues);
  147. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  148. //          {
  149. //              String temp = new String();
  150. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  151. //              {
  152. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  153. //              }
  154. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  155. //          }
  156. //          // 5. 错切 - 水平
  157. //          matrix.setSkew(0.5f, 0f);
  158. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  159. //          float[] matrixValues = new float[9];
  160. //          matrix.getValues(matrixValues);
  161. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  162. //          {
  163. //              String temp = new String();
  164. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  165. //              {
  166. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  167. //              }
  168. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  169. //          }
  170. //
  171. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  172. //          matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), 0f);
  173. //          view.setImageMatrix(matrix);
  174. //
  175. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  176. //          matrixValues = new float[9];
  177. //          matrix.getValues(matrixValues);
  178. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  179. //          {
  180. //              String temp = new String();
  181. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  182. //              {
  183. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  184. //              }
  185. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  186. //          }
  187. //          // 6. 错切 - 垂直
  188. //          matrix.setSkew(0f, 0.5f);
  189. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  190. //          float[] matrixValues = new float[9];
  191. //          matrix.getValues(matrixValues);
  192. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  193. //          {
  194. //              String temp = new String();
  195. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  196. //              {
  197. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  198. //              }
  199. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  200. //          }
  201. //
  202. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  203. //          matrix.postTranslate(0f, view.getImageBitmap().getHeight());
  204. //          view.setImageMatrix(matrix);
  205. //
  206. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  207. //          matrixValues = new float[9];
  208. //          matrix.getValues(matrixValues);
  209. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  210. //          {
  211. //              String temp = new String();
  212. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  213. //              {
  214. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  215. //              }
  216. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  217. //          }
  218. //          7. 错切 - 水平 + 垂直
  219. //          matrix.setSkew(0.5f, 0.5f);
  220. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  221. //          float[] matrixValues = new float[9];
  222. //          matrix.getValues(matrixValues);
  223. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  224. //          {
  225. //              String temp = new String();
  226. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  227. //              {
  228. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  229. //              }
  230. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  231. //          }
  232. //
  233. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  234. //          matrix.postTranslate(0f, view.getImageBitmap().getHeight());
  235. //          view.setImageMatrix(matrix);
  236. //
  237. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  238. //          matrixValues = new float[9];
  239. //          matrix.getValues(matrixValues);
  240. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  241. //          {
  242. //              String temp = new String();
  243. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  244. //              {
  245. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  246. //              }
  247. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  248. //          }
  249. //          // 8. 对称 (水平对称)
  250. //          float matrix_values[] = {1f, 0f, 0f, 0f, -1f, 0f, 0f, 0f, 1f};
  251. //          matrix.setValues(matrix_values);
  252. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  253. //          float[] matrixValues = new float[9];
  254. //          matrix.getValues(matrixValues);
  255. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  256. //          {
  257. //              String temp = new String();
  258. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  259. //              {
  260. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  261. //              }
  262. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  263. //          }
  264. //
  265. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  266. //          matrix.postTranslate(0f, view.getImageBitmap().getHeight() * 2f);
  267. //          view.setImageMatrix(matrix);
  268. //
  269. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  270. //          matrixValues = new float[9];
  271. //          matrix.getValues(matrixValues);
  272. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  273. //          {
  274. //              String temp = new String();
  275. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  276. //              {
  277. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  278. //              }
  279. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  280. //          }
  281. //          // 9. 对称 - 垂直
  282. //          float matrix_values[] = {-1f, 0f, 0f, 0f, 1f, 0f, 0f, 0f, 1f};
  283. //          matrix.setValues(matrix_values);
  284. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  285. //          float[] matrixValues = new float[9];
  286. //          matrix.getValues(matrixValues);
  287. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  288. //          {
  289. //              String temp = new String();
  290. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  291. //              {
  292. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  293. //              }
  294. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  295. //          }
  296. //
  297. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  298. //          matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth() * 2f, 0f);
  299. //          view.setImageMatrix(matrix);
  300. //
  301. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  302. //          matrixValues = new float[9];
  303. //          matrix.getValues(matrixValues);
  304. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  305. //          {
  306. //              String temp = new String();
  307. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  308. //              {
  309. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  310. //              }
  311. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  312. //          }
  313. //          // 10. 对称(对称轴为直线y = x)
  314. //          float matrix_values[] = {0f, -1f, 0f, -1f, 0f, 0f, 0f, 0f, 1f};
  315. //          matrix.setValues(matrix_values);
  316. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  317. //          float[] matrixValues = new float[9];
  318. //          matrix.getValues(matrixValues);
  319. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  320. //          {
  321. //              String temp = new String();
  322. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  323. //              {
  324. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  325. //              }
  326. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  327. //          }
  328. //
  329. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠
  330. //          matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getHeight() + view.getImageBitmap().getWidth(),
  331. //                  view.getImageBitmap().getHeight() + view.getImageBitmap().getWidth());
  332. //          view.setImageMatrix(matrix);
  333. //
  334. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素
  335. //          matrixValues = new float[9];
  336. //          matrix.getValues(matrixValues);
  337. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)
  338. //          {
  339. //              String temp = new String();
  340. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)
  341. //              {
  342. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
  343. //              }
  344. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
  345. //          }
  346. view.invalidate();
  347. }
  348. return true;
  349. }
  350. }

下面给出上述代码中，各种变换的具体结果及其对应的相关变换矩阵

1.     平移

输出的结果：

请对照第一部分中的“一、平移变换”所讲的情形，考察上述矩阵的正确性。

2.     旋转(围绕图像的中心点)

输出的结果：

它实际上是

matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth()* 1.5f, 0f);

这两条语句综合作用的结果。根据第一部分中“二、旋转变换”里面关于围绕某点旋转的公式，

matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

所产生的转换矩阵就是：

而matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth()* 1.5f, 0f);的意思就是在上述矩阵的左边再乘以下面的矩阵：

关于post是左乘这一点，我们在前面的理论部分曾经提及过，后面我们还会专门讨论这个问题。

所以它实际上就是：

出去计算上的精度误差，我们可以看到我们计算出来的结果，和程序直接输出的结果是一致的。

3.     旋转(围绕坐标原点旋转，在加上两次平移，效果同2)

根据第一部分中“二、旋转变换”里面关于围绕某点旋转的解释，不难知道：

matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

等价于

matrix.setRotate(45f);

matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f *view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

其中matrix.setRotate(45f)对应的矩阵是：

matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f * view.getImageBitmap().getHeight()/ 2f)对应的矩阵是：

由于是preTranslate，是先乘，也就是右乘，即它应该出现在matrix.setRotate(45f)所对应矩阵的右侧。

matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f)对应的矩阵是：

这次由于是postTranslate，是后乘，也就是左乘，即它应该出现在matrix.setRotate(45f)所对应矩阵的左侧。

所以综合起来，

matrix.setRotate(45f);

matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f *view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

对应的矩阵就是：

这和下面这个矩阵(围绕图像中心顺时针旋转45度)其实是一样的：

因此，此处变换后的图像和2中变换后的图像时一样的。

4.     缩放变换

程序所输出的两个矩阵分别是：

其中第二个矩阵，其实是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“三、缩放变换”和“一、平移变换”说法，自行验证结果。

5.     错切变换(水平错切)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，第二个矩阵其实是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

6.     错切变换(垂直错切)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，第二个矩阵其实是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

7.     错切变换(水平+垂直错切)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

8.     对称变换(水平对称)

代码所输出的两个各矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

9.     对称变换(垂直对称)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

10.   对称变换(对称轴为直线y = x)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

11.   关于先乘和后乘的问题

由于矩阵的乘法运算不满足交换律，我们在前面曾经多次提及先乘、后乘的问题，即先乘就是矩阵运算中右乘，后乘就是矩阵运算中的左乘。其实先乘、后乘的概念是针对变换操作的时间先后而言的，左乘、右乘是针对矩阵运算的左右位置而言的。以第一部分“二、旋转变换”中围绕某点旋转的情况为例：

越靠近原图像中像素的矩阵，越先乘，越远离原图像中像素的矩阵，越后乘。事实上，图像处理时，矩阵的运算是从右边往左边方向进行运算的。这就形成了越在右边的矩阵(右乘)，越先运算(先乘)，反之亦然。

当然，在实际中，如果首先指定了一个matrix，比如我们先setRotate()，即指定了上面变换矩阵中，中间的那个矩阵，那么后续的矩阵到底是pre还是post运算，都是相对这个中间矩阵而言的。

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