Bellman-Ford & SPFA 算法——求解单源点最短路径问题

Bellman-Ford算法与另一个非常著名的Dijkstra算法一样，用于求解单源点最短路径问题。Bellman-ford算法除了可求解边权均非负的问题外，还可以解决存在负权边的问题（意义是什么，好好思考），而Dijkstra算法只能处理边权非负的问题，因此 Bellman-Ford算法的适用面要广泛一些。但是，原始的Bellman-Ford算法时间复杂度为O（VE）,比Dijkstra算法的时间复杂度高，所以常常被众多的大学算法教科书所忽略，就连经典的《算法导论》也只介绍了基本的Bellman-Ford算法，在国内常见的基本信息学奥赛教材中也均未提及，因此该算法的知名度与被掌握度都不如Dijkstra算法。事实上，有多种形式的Bellman-Ford算法的优化实现。这些优化实现在时间效率上得到相当提升，例如近一两年被热捧的SPFA（Shortest-Path Faster Algoithm 更快的最短路径算法）算法的时间效率甚至优于Dijkstra算法，因此成为信息学奥赛选手经常讨论的话题。然而，限于资料匮乏，有关Bellman-Ford算法的诸多问题常常困扰奥赛选手。如：该算法值得掌握么？怎样用编程语言具体实现？有哪些优化？与SPFA算法有关系么？本文试图对Bellman-Ford算法做一个比较全面的介绍。给出几种实现程序，从理论和实测两方面分析他们的时间复杂度，供大家在备战省选和后续的noi时参考。

Dijkstra算法无法处理负权边

dijkstra由于是贪心的，每次都找一个距源点最近的点（dmin），然后将该距离定为这个点到源点的最短路径（d[i]<--dmin）；但如果存在负权边，那就有可能先通过并不是距源点最近的一个次优点（dmin'），再通过这个负权边L(L<0)，使得路径之和更小（dmin'+L<dmin）,则dmin'+L成为最短路径，并不是dmin，这样dijkstra就被囧掉了。
比如n=3，邻接矩阵：
0，3，4
3，0，-2
4，-2，0
用dijkstra求得d[1，2]=3，事实上d[1，2]=2，就是通过了1-3-2使得路径减小。

Bellman-Ford算法思想

Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图 G=（V,E），其源点为s，加权函数 w是边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

Bellman-Ford算法流程分为三个阶段：

（1）初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;

（2）迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）

（3）检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

算法描述如下：

Bellman-Ford(G,w,s) ：boolean   //图G ，边集 函数 w ，s为源点
 
        for each vertex v ∈ V（G） do        //初始化 1阶段
 
            d[v] ←+∞
 
        d[s] ←;                             //1阶段结束
 
        for i= to |v|- do               //2阶段开始，双重循环。
 
           for each edge（u,v） ∈E(G) do //边集数组要用到，穷举每条边。
 
              If d[v]> d[u]+ w(u,v) then      //松弛判断
 
                 d[v]=d[u]+w(u,v)               //松弛操作   2阶段结束
 
        for each edge（u,v） ∈E(G) do
 
            If d[v]> d[u]+ w(u,v) then
 
            Exit false
 
    Exit true

下面给出描述性证明：

首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。

其次，从源点s可达的所有顶点如果存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。

　　在对每条边进行1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边，所以，只需要循环|v|-1 次。

　　每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，怎么优化？单纯的优化是否可行？）

　　如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。

　　如果有负权回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。

三、基本算法之上的优化

分析 Bellman-Ford算法，不难看出，外层循环（迭代次数）|v|-1实际上取得是上限。由上面对算法正确性的证明可知，需要的迭代遍数等于最短路径树的高度。如果不存在负权回路，平均情况下的最短路径树的高度应该远远小于 |v|-1，在此情况下，多余最短路径树高的迭代遍数就是时间上的浪费，由此，可以依次来实施优化。

从细节上分析，如果在某一遍迭代中，算法描述中第7行的松弛操作未执行，说明该遍迭代所有的边都没有被松弛。可以证明（怎么证明？）：至此后，边集中所有的边都不需要再被松弛，从而可以提前结束迭代过程。这样，优化的措施就非常简单了。

设定一个布尔型标志变量 relaxed，初值为false。在内层循环中，仅当有边被成功松弛时，将 relaxed 设置为true。如果没有边被松弛，则提前结束外层循环。这一改进可以极大的减少外层循环的迭代次数。优化后的bellman-ford函数如下。

function bellmanford(s:longint):boolean;
 
     begin
 
        for i:= to nv do
 
          d[i]:=max;
 
        d[s]:=;
 
        for i:= to nv- do
 
         begin
 
         　　relaxed:=false;
 
          　 for j:= TO ne do
 
          　　　　if(d[edges[j].s]<>max) and (d[edges[j].e]>d[edges[j].s]+edges[j].w)
 
               　　then begin
 
　　　　　　　　　　　　d[edges[j].e]:=d[edges[j].s]+edges[j].w ;
 
　　　　　　　　　　　　relaxed:=true;
 
               　　end;
 
           if not relaxed then break;
 
　　　　 end;
 
        for i:= to ne do
 
          if d[edges[j].e]>d[edges[j].s]+edges[j].w then exit(false);
 
        exit(true);
 
     end;

这样看似平凡的优化，会有怎样的效果呢？有研究表明，对于随机生成数据的平均情况，时间复杂度的估算公式为

1.13|E| if |E|<|V|

0.95*|E|*lg|V| if |E|>|V|

优化后的算法在处理有负权回路的测试数据时，由于每次都会有边被松弛，所以relaxed每次都会被置为true，因而不可能提前终止外层循环。这对应了最坏情况，其时间复杂度仍旧为O(VE)。

优化后的算法的时间复杂度已经和用二叉堆优化的Dijkstra算法相近了，而编码的复杂程度远比后者低。加之Bellman-Ford算法能处理各种边值权情况下的最短路径问题，因而还是非常优秀的。Usaco3.2.6 的程序见bellmanford_1.pas

四、SPFA 算法

SPFA是目前相当优秀的求最短路径的算法，值得我们掌握。

SPFA对Bellman-Ford算法优化的关键之处在于意识到：只有那些在前一遍松弛中改变了距离估计值的点，才可能引起他们的邻接点的距离估计值的改变。因此，用一个先进先出的队列来存放被成功松弛的顶点。初始时，源点s入队。当队列不为空时，取出对首顶点，对它的邻接点进行松弛。如果某个邻接点松弛成功，且该邻接点不在队列中，则将其入队。经过有限次的松弛操作后，队列将为空，算法结束。SPFA算法的实现，需要用到一个先进先出的队列 queue 和一个指示顶点是否在队列中的标记数组 mark。为了方便查找某个顶点的邻接点，图采用临界表存储。

程序存储在 spfa.pas中。以usaco 3.2.6 试题2为例。用邻接表写的程序。

需要注意的是：仅当图不存在负权回路时，SPFA能正常工作。如果图存在负权回路，由于负权回路上的顶点无法收敛，总有顶点在入队和出队往返，队列无法为空，这种情况下SPFA无法正常结束。

判断负权回路的方案很多，世间流传最广的是记录每个结点进队次数，超过|V|次表示有负权
还有一种方法为记录这个结点在路径中处于的位置，ord[i]，每次更新的时候ord[i]=ord[x]+1，若超过|V|则表示有负圈.....
其他方法还有很多，我反倒觉得流传最广的方法是最慢的.......

关于SPFA的时间复杂度，不好准确估计，一般认为是 O（kE），k是常数

SPFA实现

void Spfa()
{
    for (int i = 0; i<num_town; ++i)//初始化
    {
        dis[i] = MAX;
        visited[i] = false;
    }
    queue<int> Q;
    dis[start] = ;
    visited[start] = true;
    Q.push(start);
    while (!Q.empty()){
        int temp = Q.front();
        Q.pop();
        for (int i=0; i<num_town; ++i)
        {
            if (dis[temp] + road[temp][i] < dis[i])//存在负权的话，就需要创建一个COUNT数组，当某点的入队次数超过V(顶点数)返回。
            {
                dis[i] = dis[temp] + road[temp][i];
                if (!visited[i])
                {
                    Q.push(i);
                    visited[i] = true;
                }
            }
        }
        visited[temp] = false;
    }
}

五、时间效率实测

上述介绍的Bellman-Ford算法及两种的优化，只是在理论上分析了时间复杂度，用实际的数据测试，会有什么结果呢？为此，我们选择 usaco 3.2.6。

Spfa的时间效率还是很高的。并且spfa的编程复杂度要比Dijksta+heap优化要好的多。