关于tarjan

关于Tarjan算法

梗概

tarjan算法有两种(我了解的)，一种是用来求强连通分量的，另一种是关于割点和桥的问题。

根据机房大佬HL说过，这两种算法是互相独立的，只是代码很像。

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强连通分量问题

关于这类tarjan算法，我了解到的主要的一个应用就是缩点。

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思路

首先，如果我们考虑，如果这是一个有向无环图，我们可以用拓扑排序(DP?)的方法直接求出答案。

但是这个图是一个有向有环图，无法直接采用拓扑排序。

这时候我们想为什么无法直接用拓扑排序，因为在有环的情况下我们无法直接确定各个点的拓扑序。

如果我们把每个环都替换成一个点，点权为环中点权的总和，这就是一个有向无环图。

怎么样才可以找到这些环呢？这时候就可以拿出tarjan了。

tarjan算法

tarjan算法有两个关键的数组:dfn[]和low[]。

dfn[i]表示搜索到第i个点时的时间戳(第几个搜到的)。

low[i]表示第i个点所在的环中的所有点的最小dfn[]。

上代码：

void dfs(int x){
    dfn[x]=low[x]=++Tt;q[++t]=x;vis[x]=1;//Tt为时间戳 q[]为栈数组
  										//vis[i]表示i点是否在栈中
    for(int i=lnk[x];i;i=la[i]){
        int y=ne[i];
        if(!dfn[y]){dfs(y);low[x]=min(low[x],low[y]);}
      	//如果该节点没被遍历过，就查看x是否与y在同一个环中。
        else if(vis[y])low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    	  //否则，就查看x与y是否成环。
    }
    if(low[x]==dfn[x]){
        ++cnt;
        int y=0;
        while(y!=x){y=q[t];ty[y]=cnt;A[cnt]+=a[y];vis[y]=0;--t;}
      //这里为染色的过程，所有环都有一个颜色，后面根据每个点的颜色重新建图。
    }
}

重新建图完毕后就可以直接进行拓扑排序。

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read(){
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}
int dfn[10005],low[10005],a[10005],q[100005],A[10005],ty[10005],t,tot,cnt,n,m,h,ans,Tt;
int ne[100005],la[100005],lnk[10005],Ne[100005],La[100005],Lnk[10005],du[10005],dis[10005];
bool vis[300005];
void add(int x,int y){ne[++tot]=y;la[tot]=lnk[x];lnk[x]=tot;}
void Add(int x,int y){Ne[++tot]=y;La[tot]=Lnk[x];Lnk[x]=tot;}
void dfs(int x){
    dfn[x]=low[x]=++Tt;q[++t]=x;vis[x]=1;
    for(int i=lnk[x];i;i=la[i]){
        int y=ne[i];
        if(!dfn[y]){dfs(y);low[x]=min(low[x],low[y]);}
        else if(vis[y])low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    }
    if(low[x]==dfn[x]){
        ++cnt;
        int y=0;
        while(y!=x){y=q[t];ty[y]=cnt;A[cnt]+=a[y];vis[y]=0;--t;}
    }
}
void bfs(){
    h=t=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=cnt;++i)if(du[i]==0&&(!vis[i]))q[++t]=i,dis[i]=A[i],vis[i]=1;
    while(h<t){
        int u=q[++h];
        for(int k=Lnk[u];k;k=La[k]){
            du[Ne[k]]--;
            if(dis[Ne[k]]<dis[u]+A[Ne[k]])dis[Ne[k]]=dis[u]+A[Ne[k]];
            if(du[Ne[k]]==0&&(!vis[Ne[k]]))q[++t]=Ne[k];
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;++i)ans=max(ans,dis[i]);
}
int main(){
    n=read(),m=read();for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
    for(int i=1;i<=m;++i){int x=read(),y=read();add(x,y);}
    tot=0;for(int i=1;i<=n;++i)if(!dfn[i])dfs(i);
    tot=0;for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=lnk[i];j;j=la[j])if(ty[i]!=ty[ne[j]])Add(ty[i],ty[ne[j]]),++du[ty[ne[j]]];
    bfs();
    cout<<ans;
    return 0;
}

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割点和桥问题

首先了解几个概念

割点 ：在去掉这个点以及它所关联的边后，图从连通变为不连通，这个点就被称为割点。

桥 ：在去掉这条边后，图从连通变为不连通，这条边就被称为桥。

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思路

这一类问题题目中的条件是无向图。这是和上面一种Tarjan的一个很大的区别。

以下是求割点的代码。

void tar(int u,int fa){//fa作为根节点作为一个特殊的情况
	dfn[u]=low[u]=++cnt;int son=0;
	for(int j=lnk[u];j;j=la[j]){
		int v=ne[j];
		if(!dfn[v]){//找出了一个环
			tar(v,fa);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]>=dfn[u]&&u!=fa)cut[u]=1;//如果u的v子树和u不成环u为一个割点
			if(u==fa)++son;
		}
		low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(son>1&&u==fa)cut[fa]=1;
}

接下来是求桥的代码。

void tar(int u){
	dfn[u]=low[u]=++sum;
	for(int j=lnk[u];j;j=la[j]){
		vis[j]=1;
		if(!vis[j^1]){
			int v=ne[j];
			if(!dfn[v]){
				tar(v);
				low[u]=min(low[u],low[v]);
				if(dfn[u]<low[v])cut[j]=cut[j^1]=1;
			}else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
}

求割点和求桥的在代码上区别其实就一个等于号，如果背板子的话也比较简单。

例题参考程序：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=20005,M=200005;
int read(){
	int x=0;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x;
}
int n,m,ans;
int ne[M],la[M],lnk[N],tot;
int dfn[N],low[N],cnt;
bool cut[N];
void add(int x,int y){ne[++tot]=y;la[tot]=lnk[x];lnk[x]=tot;}
void tar(int u,int fa){
	dfn[u]=low[u]=++cnt;int son=0;
	for(int j=lnk[u];j;j=la[j]){
		int v=ne[j];
		if(!dfn[v]){
			tar(v,fa);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]>=dfn[u]&&u!=fa)cut[u]=1;
			if(u==fa)++son;
		}
		low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(son>1&&u==fa)cut[fa]=1;
}
int main(){
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int x=read(),y=read();
		add(x,y);add(y,x);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)if(!dfn[i])tar(i,i);
	for(int i=1;i<=n;++i)if(cut[i])++ans;printf("%d\n",ans);
	for(int i=1;i<=n;++i)if(cut[i])printf("%d ",i);
	return 0;
}