【BZOJ】2820: YY的GCD
【题意】给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对。T<=10^4,N,M<=10^7。
【算法】数论(莫比乌斯反演)
【题解】公式推导见DQSSS。
推到ans= Σp是素数 Σd≤mins μ(d) * (n/pd) * (m/pd),mins=min(n/p,m/p)。
使用枚举取值的方法再枚举素数单次询问复杂度√n*(n/ln n),显然不能满足要求。
问题在于枚举素数,令T=pd,则:
ans= ΣT≤mins (n/T) * (m/T)*Σp|T&&p是素数 μ(T/p),mins=min(n,m)。
后面部分可以枚举素数的倍数预处理出μ前缀和,复杂度O((n/ln n)*ln n)即O(n)。
每次询问再枚举取值O(√n)解决。
总复杂度O(T*√n+n)。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=,N=;
int miu[maxn],mius[maxn],prime[maxn],tot;
ll s[maxn];
bool mark[maxn];
void pre(){
miu[]=;
for(int i=;i<=N;i++){
if(!mark[i])miu[prime[++tot]=i]=-;
for(int j=;j<=tot&&i*prime[j]<=N;j++){
mark[i*prime[j]]=;
if(i%prime[j]==)break;
miu[i*prime[j]]=-miu[i];
}
}
for(int i=;i<=tot;i++){
for(int j=prime[i];j<=N;j+=prime[i])mius[j]+=miu[j/prime[i]];
}
for(int i=;i<=N;i++)s[i]=s[i-]+mius[i];
}
int main(){
pre();
int T,n,m;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d",&n,&m);
int pos=,mins=min(n,m);ll ans=;
for(int i=;i<=mins;i=pos+){
pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=(s[pos]-s[i-])*(n/i)*(m/i);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return ;
}
将枚举两个数改为枚举乘积和其中一个,即T和p|T,后面的p|T可以O(n log n)贡献处理前缀和。
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