BZOJ 1005 [HNOI2008]明明的烦恼 ★(Prufer数列)

题意

N个点，有些点有度数限制，问这些点可以构成几棵不同的树。

思路

---

【Prufer数列】

Prufer数列是无根树的一种数列。在组合数学中，Prufer数列是由一个对于顶点标过号的树转化来的数列，点数为n的树转化来的Prufer数列长度为n-2。一个Prufer数列唯一对应一棵树。

【将树转化成Prufer数列的方法】

一种生成Prufer序列的方法是迭代删点，直到原图仅剩两个点。对于一棵顶点已经经过编号的树T，顶点的编号为{1,2,...,n}，在第i步时，移去所有叶子节点（度为1的顶点）中标号最小的顶点和相连的边，并把与它相邻的点的编号加入Prufer序列中，重复以上步骤直到原图仅剩2个顶点。

---

显然本题就是求不同的Prufer数列个数，由于有些点有度数限制，假设这些点度数分别为d[i]，则该点在数列中就需要出现d[i]-1次。

令sum = sigma(d[i]-1)，则sum表示所有w个有度数限制的点在数列中占几位。

先为这些点分配位置：P1 = C(n-2, sum)*sum!/∏(d[i]-1)!

然后剩下n-w个点，n-sum-2个空位，P = P1 * (n-w)^n-sum-2.

代码

[cpp]
/**************************************************************
Problem: 1005
User: AbandonZHANG
Language: Java
Result: Accepted
Time:1284 ms
Memory:19092 kb
****************************************************************/

import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main{
public static void main(String args[]){
Scanner cin = new Scanner(System.in);
int a[] = new int[1005];
int n, w = 0, sum = 0;
n = cin.nextInt();
BigInteger ww = BigInteger.ONE, ws;
for (int i = 0; i < n; i ++){
a[i] = cin.nextInt();
if (a[i] > -1){
w ++;
sum += (a[i] - 1);
ww = ww.multiply(fac(a[i]-1));
}
}
ws = fac(sum);
BigInteger res = BigInteger.ONE, wp = BigInteger.valueOf(n-w);
res = res.multiply(C(n-2, sum));
res = res.multiply(ws.divide(ww));
res = res.multiply(wp.pow(n-sum-2));
System.out.println(res);
cin.close();
}
public static BigInteger fac(int n){
BigInteger res;
res = BigInteger.ONE;
while(n != 0){
res = res.multiply(BigInteger.valueOf(n));
n --;
}
return res;
}
public static BigInteger C(int n, int r){
BigInteger res = BigInteger.ONE;
res = res.multiply(fac(n));
res = res.divide(fac(r).multiply(fac(n-r)));
return res;
}
}
[/cpp]