线性时间选择(含平均情况O(n)和最坏情况O(n)算法)

前言

本篇文章我将介绍 期望为线性时间 的选择算法和 最坏情况为线性时间 的选择算法，即分别为 平均情况下时间复杂度为O(n) 和 最坏情况下时间复杂度为O(n) 的线性时间选择。以下包含了我自己的全部思考和学习过程，参考书籍为 算法导论(第三版)。

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线性时间选择问题

问题概述

线性时间选择 ：一个由 n 个互异的数字构成的集合a，选择在这个集合中第 k 小的数 x，即集合中恰好有 k-1 个数字小于 x，并输出这个数字 x。

比如 我们有一个集合 {4, 2, 1, 7, 5}，我们要找到集合中的第 3 小的元素，那么答案就是 4 。

解决思路

相信大部分童鞋都学习过了 快速排序算法 ，而我们的 线性时间选择算法 就是基于快速排序的。（如有对快速排序还不了解的童鞋，可以来看看这里哟~ 快速排序）

在线性时间选择算法中，我们会延用快速排序中使用到的划分函数 Partition，我们将用这个 Partition 函数来递归划分数组。与快速排序不同的是，我们在调用这个 Partition 函数的时候，只会对数组的其中一边进行不断划分，而快速排序需要对两边都不断进行划分，最后得到正序序列。

在后面的分析中我们会发现，我们选择的第 k 小的元素，可能就是当前这个划分位置对应的元素，如果不在当前划分位置，要么就是在数组划分处的左半部分，要么就是在数组划分处的右半部分。所以我们只需要对一边进行操作，不断去判断当前划分位置的元素是否是我们要找的第 k 小元素 x 即可。

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平均情况为O(n)的线性时间选择

算法步骤

1、我们将 Partition 函数进行一个小小的改进，采用随机取基准值的方式对数组进行划分，即 Randomized-Partition ，这样有可能避免一些极端的划分情况。(Partition 在后续的实现代码中，我将使用左右指针法)

2、得到当前基准值的划分位置 mid，定义一个 res 记录当前这个元素在 [left, right] 范围中是第几小元素。

3、如果 k == res，那么这个这个划分位置的元素就是我们要找的第 k 小的元素。

如果不是，有以下两种情况：

当 k < res 时，我们要从当前 [left, right] 的左半部分进行寻找，即 [left, mid - 1]。不难发现，之后我们依旧找的是此范围的第 k 小元素。

当 k > res 时，我们要从当前 [left, right] 的右半部分进行寻找，即 [mid + 1, right]，但是要注意的是，对于整个集合范围的第 k 小元素，此时我们要找的应该是 [mid + 1, right] 中的第 k - res 小元素。

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程序实现

源代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
using namespace std;

//原始划分函数
int Partition(int a[], int left, int right){
    int i = left;
    int j = right;
    int key = a[left];

    while(i != j){
	while(i < j && a[j] >= key)      //向左找到小于基准值的值的下标
            j--;
        while(i < j && a[i] <= key)      //向右找到大于基准值的值的下标
            i++;
	swap(a[i], a[j]);
    }
    /*   i等于j时跳出循环 当前基准值此时在下标为i的位置(合适的位置)   */
    swap(a[left], a[i]);	         //最左边的元素变为处于当前合适位置的元素,把基准值放在合适位置
    return i;                            //返回合适位置(i,j都可以)
}

//随机取基准值 划分函数
int Randomized_Partition(int a[], int left, int right){
    int random = rand() % (right - left + 1) + left;
    swap(a[random], a[left]);

    return Partition(a, left, right);
}

//平均情况O(n²)的线性时间选择
int Randomized_Select(int a[], int left, int right, int k){
    if(left == right)
	return a[left];

    int mid = Randomized_Partition(a, left, right);
    int res = mid - left + 1;    //res表示当前是范围内的第几小
    if(k == res)
	return a[mid];
    if(k < res)
	return Randomized_Select(a, left, mid - 1, k);
    else
	return Randomized_Select(a, mid + 1, right, k - res);
}

main(){
    int a[27] = {25,11,9,1,13,21,3,10,27,15,19,8,30,35,22,12,31,2,7,23,26,5,14,37,4,34,17};
    cout<<"The 10th number is "<<Randomized_Select(a, 0, 26, 10)<<endl;
}

运行结果图

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时间复杂度分析

最坏时间复杂度

假如我们每次划分的位置的元素恰好每次都不是当前的第 k 小元素，我们要进行 n - 1 的划分，而划分的时间复杂度为 O(n)，所以我们可以得到此时的最坏时间复杂度为 O(n²) 。举个简单一点的例子，假如我们要找的是当前集合中的最小的元素，即第 1 小元素，若我们每次划分的位置的元素恰好是当前范围内的最大元素，那么可想而知我们的最坏时间复杂度就是 O(n²) 。

平均时间复杂度

现在我们重点分析随机取基准值的线性时间选择的平均时间复杂度，即如何求得平均时间复杂度为 O(n)。

在分析过程中，我们需要用到一些概率论的知识(概率论好难的额)。

我们可以假设这个算法在数组 a[left ... right] 上运行的时间是一个随机变量，记作 T(n) 。我们视每一次划分返回的基准值是等可能性的，由此我们可以得到对于每一个 k (0<k<=n)，子数组 a[left, mid]恰好有 k 个元素小于基准值的概率为 1/n。我们可以得到下列关系式:

现在我们具体计算 T(n)：

假设 T(n) 是单调递增的，我们可以评估得到其递归调用所需的上界。而对于我们之前设的随机变量 Xk，当 k 与 Xk 相对应时，Xk 取 1 ，在其他情况下都是取 0。当 Xk = 1 时，我们有可能要处理的是最半部分长度为 k - 1 的数组，也有可能是右半部分长度为 n - k 的数组，为了得到 T(n) 的上界，我们需要取两种可能中的较大时间。同时不要忘了划分本身消耗的时间。由此我们可以得到如下的关系式:

对于 max(k-1, n-k) 的取值我们有如下的思考:

我们可以很容易发现，当 n 为偶数时，T(n/2) 到 T(n-1) 都各自出现了两次；如果 n 为奇数呢，除了偶数情况下各自出现两次之外，还有一个 T((n-1)/2) 出现了一次，但是并不影响上界的证明。我们总结之前得到的关系式，可以得到以下不等式:

此时，E(T(n)) 最多是 cn，当常数 c > 4a 时，n >= 2c/(c-4a)。由此可以得到，当 n < 2c/(c-4a) 时，T(n) = O(1)，这就满足了我们在上面图中做出的存在常数时间复杂度的假设；同时，因为 E(T(n)) 最多是 cn，我们的常数 c 也存在，那么期望时间复杂度 E(T(n)) = O(n)。

综上，随机取基准值的线性时间选择的平均时间复杂度为 O(n)。

分析过程中的思考

为什么 E(Xk) 与 T(max(k-1, n-k)) 相互独立

注意 Xk 表示的是子数组 a[left, mid] 恰好有 k 个元素的概率，而我们所设的 T(n) 是在这个长度的子数组上操作所运行的时间，这两者是有本质上差别的。通俗地来讲，我们可以把子数组 a[left, mid] 看成是长度为 mid-left+1 的一列地砖，地砖上只有前 k 个上有数字，我们现在要从当前起点匀速走过这些地砖，不会去看这些数字是什么和多少个，那么我们走过去的时间一定是一个常量，即我们走过去的时间就是速度×地砖长度。可见 Xk 和 T(n) 是毫不相干的两个量，所以自然是相互独立地咯~。

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最坏情况为O(n)的线性时间选择

算法思考

先前我们已经知道了平均情况下时间复杂度为 O(n) 的线性时间选择算法，但是它的最坏时间复杂度是 O(n²)，那么是否有方法可以使最坏时间复杂度降低到 O(n) 呢？

接下来将介绍所谓的 最坏情况为O(n) 的选择算法，Select 选择算法。

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算法步骤

1、我们将集合中的元素进行每 5 个进行分组，剩余于的 n mod 5 个元素组成单独一个组；

2、对每一组单独进行排序(比较简单的排序方式都可以)，取出每一组的中位数，并和序列的前几个进行交换(为了后期方便)；

3、将取出的所有组的中位数，递归调用 Select 函数，找出所有中位数的中位数 x；

4、按照这个中位数 x，对当前 [left, right] 范围序列进行划分；

5、定义 res = mid - left + 1 判断是否是当前的第 k 小元素，若是直接返回 a[mid]；

否则，有以下两种情况:

若 k < res，就在左半部分递归调用 Select 函数，寻找 [left, mid - 1] 内的第 k 小元素；

若 k > res，就在右半部分递归调用 Select 函数，寻找 [mid + 1, right] 内的第 k-res 小元素。

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动态演示

我们以集合 a[27] = {25,11,9,1,13,21,3,10,27,15,19,8,30,35,22,12,31,2,7,23,26,5,14,37,4,34,17}, k = 10为例

初始元素，从左到右每五个分一组

每组排序找到中位数，最后一组不处理

中位数和前面交换，找出中位数的中位数x

按照x进行划分并判断

递归调用找左半部分并找出中位数

中位数和前面交换，找出此时的x

中位数的中位数x进行划分

递归调用找右半部分并找出中位数

此时中位数就一个，作为x进行划分找到第10小元素

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程序实现

源代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
using namespace std;

//最坏情况O(n)的线性时间选择 划分函数
int Partition(int a[], int left, int right, int x){
    //找到基准值并和第一个位置交换
    for(int index = left; index <= right; index++){
	if(a[index] == x){
	    swap(a[index], a[left]);
	    break;
	}
    }
    //找到基准值位置确定划分处(左右指针法)
    int i = left, j = right;
    while(i != j){
	while(i < j && a[j] >= x)
	    j--;
	while(i < j && a[i] <= x)
	    i++;
	swap(a[i], a[j]);
    }
    swap(a[left], a[i]);
    return i;
}

//最坏情况O(n)的线性时间选择
int Select(int a[], int left, int right, int k){
    //当小于五个元素时直接进行C++自带排序(其他排序方式也可以)
    if(right - left < 5){
	sort(a + left, a + right + 1);   	//记得sort左闭右开
	return a[k + left - 1];
    }

    //每五个一组,找到各组中位数,并存储到前(r-l-4)/5的位置
    for(int i = 0; i <= (right - left - 4)/5; i++){
	//当前 有(r-l-4)/5向下取整+1个 中位数
	sort(a + left + i * 5, a + left + i*5 + 4 + 1);
	//每组的中位数交换到前面
	swap(a[left + i], a[left + i*5 + 2]);
    }

    //递归调用Select找出所有中位数的中位数 x
    int x = Select(a, left, left + (right-left-4)/5, (right-left-4)/10 + 1);

    //以 x 为基准值找到所在的划分位置
    int mid = Partition(a, left, right, x);
    int res = mid - left + 1;
    if(k == res)
	return a[mid];				  //找到第 k 小该元素
    if(k < res)
	return Select(a, left, mid - 1, k);       //继续在左半部分寻找
    else
	return Select(a, mid + 1, right, k - res);//继续在右半部分寻找
}

main(){
    int a[27] = {25,11,9,1,13,21,3,10,27,15,19,8,30,35,22,12,31,2,7,23,26,5,14,37,4,34,17};
    cout<<"第 10 小元素为: "<<Select(a, 0, 26, 10)<<endl;
}

运行结果图

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时间复杂度分析

最坏情况时间复杂度

我们需要求得最坏时间复杂度，就是需要求得这个时间复杂度 T(n) 的上界。在确定了一个划分基准值 x 时，我们不难发现，这个时候的 n/5向上取整 组中，除了那个不满五个元素的组 和 x 自己所在的组，我们至少有一半的组有 三个元素 大于 x。那么减去这两个特殊的组，只算那至少一半的组，我们可以得到大于 x 的元素的个数如下:

那么由这个上界，在之前的 算法步骤 5 中，我们递归调用的最大时间是 T(7n/10 + 6) 。

这个时候我们整理一下每个步骤需要的时间:

首先，之前的 算法步骤 1 中，我们分组的时间复杂度很明显是 O(n)；

其次 算法步骤 2 对每组的五个元素进行排序，我们视其为对相对于整个问题(可以把整个问题看成有非常多的元素，例如一亿个数据)为 O(1) 规模大小的每组进行排序，对此我们要进行 O(n) 时间复杂度次数的排序，那么我们在此步骤中相对于整个问题而言时间复杂度也是同级的O(n)；

然后是 算法步骤 3，递归调用 Select，以为有 n/5向上取整 个中位数，显然我们要消耗 T(n/5向上取整)；

那么综合上面的几个时间复杂度，我们可以得到如下关系式:

现在我们要再次用到先前在 平均情况O(n)的线性时间选择 板块所用到的假设法来证明这个关系式最后解出的 T(n) 是线性的。

我们假设存在足够大的常数 c 使得对所有 n>0 有 T(n)<=cn，还要假设某个小于常数的 n 使得T(n) = O(1)；同时还需要选择一个常数 a，使得对所有 n>0，关系式中的 O(n) 存在上界 an。由此我们可以得到如下不等式:

综上，我们可以得到当前算法的 最坏时间复杂度 为 O(n)，也许上面的证明有一些颠覆人们的认知，然后事实就是如此。

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程序改进

程序改进点

我们在上面得到了当 n > 70 时的时间复杂度为 O(n)；当 n <= 70 的时候只要 O(1) 的时间。

当我们解决问题的规模非常大时，假如有100000个互异的元素，我们不妨定一个数字，若当前数组范围小于这个数字时，直接进行简单的排序，返回这个第 k 小的元素。我们之前得到的 n < 70，那么我们可以用一个与之相近并大于它的数字来替代这个 70，就比如 75 吧。当数据规模小于 75 时，我们直接进行排序即可。

改进程序源代码

下面是改进后的实现代码，测试用例规模 100000 。对于元素互异的问题，我们由于数据量较大，所以可以假设元素都是互异的。

#include<iostream>
#include<unordered_set>
#include<algorithm>
#include<ctime>
using namespace std;

//最坏情况O(n)的线性时间选择 划分函数
int Partition(int a[], int left, int right, int x){
    //找到基准值并和第一个位置交换
    for(int index = left; index <= right; index++){
	if(a[index] == x){
	    swap(a[index], a[left]);
	    break;
	}
    }
    //找到基准值位置确定划分处(左右指针法)
    int i = left, j = right;
    while(i != j){
	while(i < j && a[j] >= x)
	    j--;
	while(i < j && a[i] <= x)
	    i++;
	swap(a[i], a[j]);
    }
    swap(a[left], a[i]);
    return i;
}

//最坏情况O(n)的线性时间选择
int Select(int a[], int left, int right, int k){
    //当g规模小于 75 时直接进行排序(其他排序方式也可以)
    if(right - left < 75){
	sort(a + left, a + right + 1);   	//记得sort左闭右开
	return a[k + left - 1];
    }

    //每五个一组,找到各组中位数,并存储到前(r-l-4)/5的位置
    for(int i = 0; i <= (right - left - 4)/5; i++){
	//当前 有(r-l-4)/5向下取整+1个 中位数
	sort(a + left + i * 5, a + left + i*5 + 4 + 1);
	//每组的中位数交换到前面
	swap(a[left + i], a[left + i*5 + 2]);
    }

    //递归调用Select找出所有中位数的中位数 x
    int x = Select(a, left, left + (right-left-4)/5, (right-left-4)/10 + 1);

    //以 x 为基准值找到所在的划分位置
    int mid = Partition(a, left, right, x);
    int res = mid - left + 1;
    if(k == res)
	return a[mid];				  //找到第 k 小该元素
    if(k < res)
	return Select(a, left, mid - 1, k);       //继续在左半部分寻找
    else
	return Select(a, mid + 1, right, k - res);//继续在右半部分寻找
}

int *a = new int[1000 * 100];   //全局变量，防止栈溢出
main(){
    srand((int)time(0));
    int index = 0;
    while(index < 100000){
	int num = rand() % 1000000;
	a[index++] = num;
    }

    for(int i = 0; i < 100000; i++)
	cout<<a[i]<<" ";
    cout<<endl<<endl;

    cout<<"第 66666 小元素为: "<<Select(a, 0, 99999, 66666)<<endl;
}

程序运行结果图