前言

之前被安排了活,一个局部区域机器运动控制的工作,大致是一个机器位于一个极限区域时候,机器要进入一个特殊的机制,使得机器可以安全的走出来。其中用到了bezier曲线进行优化路径,今天写一下,正好也给大家分享一下工作和实践的情况。

作者:良知犹存

转载授权以及围观:欢迎关注微信公众号:羽林君

或者添加作者个人微信:become_me


贝塞尔曲线基本介绍

线段都可以被拆分成两个坐标的差来表示,如下面一阶的贝塞尔曲线,P0到P1,可以用一个t进行拆分这段线,分别是线段 t(P0~P1)、线段 1-t(P0~P1),P0和P1叫做, 这条条贝塞尔的两个控制点,而贝塞尔曲线至少要有两个控制点(就是下面的这条直线,一阶贝塞尔曲线)。在贝塞尔曲线与控制点位置相关,这意味着在曲线生成过程中,我们可以通过调节控制点的位置,进而调整整个曲线。

贝塞尔的阶数和次数是一样的,二阶贝塞尔,三个点,最高次数二次。例:二阶贝塞尔:三个点,两个线段,以所有等比的点组合成的曲线叫做二阶贝塞尔曲线。

接下来给大家介绍一下贝塞尔曲线的推导工程,也比较简单,并且网上的介绍也挺多的:

一阶:

这里面有两个控制点为$ P_0 (0,0) 和P_1 (1,1)$ ,对应的曲线方程为:

$$ B\big( t \big) = P_t = (1 - t) P_0 + tP_1 = P_0 + (P_1 - P_0)t $$

tϵ[0,1]

这个方程可以理解为,从$P_0$出发,朝着$P_1$的方向前进$||P_1-P_0||t$的距离,从而得到了点B(t)的位置。t从0逐渐递增到1,这个过程完成,就成了我们所看到的曲线。

另外,之所以是一阶贝塞尔曲线是因为方程是关于t的一阶多项式,多阶也是一样。

二阶:

有三个控制点,这里的 P0、P1、P2 分别称之为控制点,曲线的产生完全与这三个点位置相关。

与一阶有些区别就在于三个控制点形成两个线段,每个线段上有一个点在运动,于是得到两个点;

再使用两个点形成一个线段,这个线段上有一个点在运动,于是得到一个点;最后一个点的运动轨迹便构成了二阶贝塞尔曲线。



对应的曲线方程为:

$$ P_a = (1 - t) P_0 + tP_1 = P_0 + (P_1 - P_0)t $$

$$ P_b = (1 - t) P_1 + tP_2 = P_1 + (P_2 - P_1)t $$

$$ P_t = (1 - t) P_a + tP_b = P_a + (P_b - P_a)t $$

这是一条迭代公式,每次迭代都会少掉一个“点”。

最后得:

$$ B\big( t \big) = P_t = (1 - t)^2 P_0 + 2t(t -1)P_1 + t^2 P_2 $$

三阶:

有四个控制点

设控制点为P0,P1,P2和P4,曲线方程为:

$$ B\big( t \big) = P_t = (1 - t)^3 P_0 + 3t(t -1)^2t P_1 + 3t^2(1-t) P_2+t^3P_3 $$

配图这是matlab生成的gif动画,大家想要的也可以找我,代码私发给大家。

N阶:

我们发现,实际上是每轮都是 n 个点,形成 n-1 条线段,每个线段上有一个点在运动,那么就只关注这 n-1 个点,循环往复。最终只剩一个点时,它的轨迹便是结果。

如此一来,你会发现贝塞尔曲线内的递归结构。实际上,上述介绍的分别是一阶、二阶、三阶的贝塞尔曲线,贝塞尔曲线可以由阶数递归定义。

N阶贝塞尔曲线公式:

$$ B\big( t \big) = \sum\limits_{i=0}^{n} \big(_{i}^{n} \big) P_i(1-t)^{n-i} t^i ,t\in [0,1]$$

贝塞尔曲线应用

贝塞尔曲线在动画中有应用,前端以及一些其他显示要求;此外在路径规划过程中,也会使用贝塞尔曲线进行规划好路径再优化,我就是使用了后者进行优化规划好的路径,使得机器行走更加顺畅,不过使用中大家需要按照机器实际相应来进行调整t的精度以及阶数。

由于贝塞尔曲线本身的数学表达式便是一条递归式,所以决定采用递归的方式来实现。代码如下,BezierCurve函数实现贝塞尔曲线迭代,UseBezierOptimizePath函数的第二个参数进行控制使用的阶数,最后调用opencv实现可视化效果。

#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core.hpp>
#include <vector>
using namespace cv;
using std::cout;
using std::endl;
using std::vector; template <typename T>
T BezierCurve(T src)
{
if (src.size() < 1)
return src;
const float step = 0.003;//1.0/step
T res;
if (src.size() == 1) {//递归结束条件
for (float t = 0; t < 1; t += step)
res.push_back(src[0]);
return res;
}
T first_part{};
T second_part{};
first_part.assign(src.begin(), src.end() - 1);
second_part.assign(src.begin() + 1, src.end()); T pln1 = BezierCurve(first_part);
T pln2 = BezierCurve(second_part);
for (float t = 0; t < 1; t += step)
{
typename T::iterator::value_type temp{};
temp += pln1[cvRound(1.0 / step * t)] * (1.0 - t) ;
temp += pln2[cvRound(1.0 / step * t)] * t;
res.emplace_back(temp);
}
return res;
}
template <typename T>
T UseBezierOptimizePath(T path,uint8_t order_number)
{
if(path.size() < order_number)
return {};
T new_path{};
for(uint8_t i=0;i<path.size()-(order_number-1);i+=(order_number-1))
{
T tmp = BezierCurve(T(&path[i],&path[ i + order_number]));
new_path.insert(new_path.begin(),tmp.begin(),tmp.end());
} return new_path;
} int main(int argc, char const* argv[])
{
while (1) {
cout<< endl;
cout<< endl;
cout<< endl;
vector<Point2f> path;
RNG rng; for (int i = 1; i <8; i++)
path.push_back(Point2f(i * 800 / 8, random() % 800));//rng.uniform(0,800)));//cvRandInt(rng) % 800));
Mat img(900, 1200, CV_8UC3);
img = 0; for(uint8_t i =0;i < path.size() -1;i++)
{
cout<< path[i]<< ","<< endl;
line(img,Point(path[i].x, path[i].y),Point(path[i+1].x, path[i+1].y), Scalar(255, 0, 0), 16, LINE_AA, 0);
}
cout<< endl;
// imshow("line", img);
for (int i = 0; i < path.size(); i++)
circle(img, path[i], 3, Scalar(0, 0, 255), 10); //BGR // vector<Point2f> bezierPath = bezierCurve(path);
vector<Point2f> bezierPath = UseBezierOptimizePath(path,4);
for (int i = 0; i < bezierPath.size(); i++) {
// circle(img, bezierPath[i], 3, Scalar(0, 255, 255), 3); //BGR
img.at<cv::Vec3b>(cvRound(bezierPath[i].y), cvRound(bezierPath[i].x)) = { 0, 255, 255 };
// printf("pose(%f %f)\n",bezierPath[i].x,bezierPath[i].y);
imshow("black", img);
// waitKey(10);
}
if (waitKey(0) == 'q')
break;
}
return 0;
}

显示效果如下:

三阶

四阶

结语

这就是我自己的一些设不贝塞尔曲线的使用分享。如果大家有更好的想法和需求,也欢迎大家加我好友交流分享哈。


作者:良知犹存,白天努力工作,晚上原创公号号主。公众号内容除了技术还有些人生感悟,一个认真输出内容的职场老司机,也是一个技术之外丰富生活的人,摄影、音乐 and 篮球。关注我,与我一起同行。

                              ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧  END  ‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧

推荐阅读

【1】jetson nano开发使用的基础详细分享

【2】Linux开发coredump文件分析实战分享

【3】CPU中的程序是怎么运行起来的 必读

【4】cartographer环境建立以及建图测试

【5】设计模式之简单工厂模式、工厂模式、抽象工厂模式的对比

本公众号全部原创干货已整理成一个目录,回复[ 资源 ]即可获得。

(Bezier)贝塞尔曲在路径规划的运用的更多相关文章

  1. Unity路径规划

    Unity路径规划  转自:http://www.cnblogs.com/zsb517/p/4090629.html 背景 酷跑游戏中涉及到弯道.不规则道路. 找来一些酷跑游戏的案例来看,很多都是只有 ...

  2. 游戏AI之路径规划(3)

    目录 使用路径点(Way Point)作为节点 洪水填充算法创建路径点 使用导航网(Navigation Mesh)作为节点 区域分割 预计算 路径查询表 路径成本查询表 寻路的改进 平均帧运算 路径 ...

  3. 【路径规划】 Optimal Trajectory Generation for Dynamic Street Scenarios in a Frenet Frame (附python代码实例)

    参考与前言 2010年,论文 Optimal Trajectory Generation for Dynamic Street Scenarios in a Frenet Frame 地址:https ...

  4. 【BZOJ-3627】路径规划 分层图 + Dijkstra + spfa

    3627: [JLOI2014]路径规划 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 186  Solved: 70[Submit][Status] ...

  5. 基于谷歌地图的Dijkstra算法水路路径规划

    最终效果图如下: 还是图.邻接表,可以模拟出几个对象=>节点.边.路径.三个类分别如下: Node 节点: using System; using System.Collections.Gene ...

  6. iOS百度地图路径规划和POI检索详细总结-b

    路径规划.png 百度地图的使用 百度地图API的导入网上说了许多坑,不过我遇到的比较少,这里就放两个比较常见的吧.坑一: 奥联WIFI_xcodeproj.png 如上图所示,在infoplist里 ...

  7. COJ 0500 杨老师的路径规划(MST)最小生成树

    杨老师的路径规划(MST) 难度级别:B: 运行时间限制:1000ms: 运行空间限制:51200KB: 代码长度限制:2000000B 试题描述 为满足同学们需求,杨老师在实验楼4层新建了好多个计算 ...

  8. canvas-js贝塞尔曲代码在线生成工具

    canvas贝塞尔曲代码在线生成工具 可以快速生成二次.三次贝塞尔曲线的源码生成器,方便经常使用到canvas画图的同学使用,可以直接预览效果随意画出自己想要的图像. 生成源码效果预览: canvas ...

  9. octomap中3d-rrt路径规划

    路径规划 碰撞冲突检测 在octomap中制定起止点,目标点,使用rrt规划一条路径出来,没有运动学,动力学的限制,只要能避开障碍物. 效果如下: #include "ros/ros.h&q ...

随机推荐

  1. 解释 MySQL 外连接、内连接与自连接的区别 ?

    先说什么是交叉连接: 交叉连接又叫笛卡尔积,它是指不使用任何条件,直接将一 个表的所有记录和另一个表中的所有记录一一匹配. 内连接 则是只有条件的交叉连接,根据某个条件筛选出符合条件的记录,不符合 条 ...

  2. java-LinkedMap

    输入一组数,输出是按每个出现的频率,比如1,3,3,4,5,9,9,9,3,3,输出为3,3,3,3,9,9,9,1,4,5如果频率一样就按原顺序输出. package com.lyb.array;i ...

  3. Linux 搭建Apollo

    简介 Apollo(阿波罗)是携程框架部门研发的分布式配置中心,能够集中化管理应用不同环境.不同集群的配置,配置修改后能够实时推送到应用端,并且具备规范的权限.流程治理等特性,适用于微服务配置管理场景 ...

  4. 惯性传感器(IMU)

    近两年来,车联网.自动驾驶.无人驾驶.汽车智能化.网联化等成为了汽车行业的热点话题,未来汽车一定是朝着安全.可靠及舒适的方向发展.而这一切背后的发展都离不开传感器的作用,今天我们就来聊聊用途越来越广的 ...

  5. 深入理解ES6之《ES7》

    指数运算符 Math.pow是可以进行求幂运算的求幂运算符是两个星号 let result = 5 ** 2 console.log(result) //25 console.log(result = ...

  6. 设计模式-观察者模式Observe的实现

    using System.Collections; using System.Collections.Generic; using UnityEngine; /// <summary> / ...

  7. 记一次曲折的CVE-2018-1270复现分析

    前言 前两天接到朋友对某个授权目标的漏扫结果,也算是初次接触到这个漏洞,就想着顺手分析一下复现一下,因为分析这个漏洞的文章也比较少,所以刚开始比较迷,进度也比较慢. 漏洞复现 使用vulhub搭建环境 ...

  8. Android Studio连接SQLite数据库与SQLite Studio实时同步的实现

    最近学习用到了android开发连接数据库这一块,发现连接成功后,都要先访问安卓项目的数据库路径data/data/项目/databases,然后把对应的db文件拷出来,再在SQLite的可视化工具中 ...

  9. 移动端页面中点击input输入框的时候弹出的键盘将输入框挡住的问题

    使用的是vux框架, 以为是框架问题, 后来发现是把当前页面的高度写死为了height:200%: 只要把高度去掉就能让页面自动弹到输入框的上方:

  10. caioj 1000: [视频]整数运算[水题]

    题目大意:输入两个整数a和b,输出他们的和. 题解:水题不用题解,简单看一下就知道了-- 代码: #include <cstdio> int a, b; int main() { whil ...