hdu4623:crime 数学优化dp
鞍山热身赛的题,也是去年多校原题
题目大意:
求n个数的排列中满足相邻两个数互质的排列的数量并取模
当时的思路就是状压dp.. dp[i][state] state用二进制记录某个数是否被取走,i 表示当前序列末尾的数字
然后gcd状态转移
可是n是28,算了一下有几亿个状态。。没法做。。
回来之后找了题解发现可以用数学方法优化,于是搞了半天终于ac了
首先在这个问题中:
两个数是否互质只与他们的质因数有关,所以质因数相同的数是等价的,称作此问题的等价类
质因数找到这些等价类,并得到每个类中的数的数量是很容易的。。
所以只需要对这些等价类进行处理,最后对每个等价类再乘以数量的排列数就可以得到答案了。
不过此时有了数量,就不能用二进制状压了,应该采用哈希来状压。
研究了一会发现哈希状压和二进制状压差不多,只不过把基数从(1+1)^n变成了 (num[1]+1)*(num[2]+1)....也是很好理解的
这些状态处理完,发现对于n=28只有 5600000个状态了,等价类数是17 所以复杂度是17*5600000
一交MLE了。由于取模最大30000,把数组改为short,中间结果int防溢出,不爆内存了。
然后时限30s,以为可以过,结果又T了。。
于是又想了一会,发现17,19,23这三个数与其他任意一个数的互质。。所以他们与 1 是等价的
加了这个优化以后复杂度下降到约为 14*1800000
8800ms AC...
代码如下
- #include<stdio.h>
- #include<string.h>
- #include<algorithm>
- using namespace std;
- const int prime[]={,,,,,,,,};
- const int np=;
- int state[];
- int g[][];
- int vi[];
- int num[];
- int base[];
- short dp[][];
- bool ok[];
- int n,m,ns,st;
- void ini()
- {
- scanf("%d%d",&n,&m);
- memset(g,,sizeof(g));
- memset(vi,,sizeof(vi));
- memset(num,,sizeof(num));
- ns=;
- state[++ns]=;
- num[ns]=;
- for(int i=;i<=n;i++)
- {
- st=;
- if(ok[i])
- {
- num[]++;
- continue;
- }
- for(int j=;j<np;j++)
- {
- if(i%prime[j]==)
- {
- st|=(<<j);
- }
- }
- if(!vi[st])
- {
- state[++ns]=st;
- num[ns]=;
- vi[st]=ns;
- }
- else
- {
- num[vi[st]]++;
- }
- }
- for(int i=;i<=ns;i++)
- {
- for(int j=;j<=ns;j++)
- {
- if((state[i]&state[j])==)
- g[i][j]=;
- }
- }
- base[]=;
- st=;
- for(int i=;i<=ns;i++)
- {
- base[i+]=base[i]*(num[i]+);
- st+=base[i]*num[i];
- }
- }
- int getnum(int i,int x)
- {
- int res=(x%base[i+])/(base[i]);
- return res;
- }
- int getstate(int i,int num)
- {
- return num*base[i];
- }
- void dfs(int t,int x)
- {
- if(t==)
- {
- dp[x][]=;
- return ;
- }
- if(dp[x][t]!=-)
- return;
- dp[x][t]=;
- for(int i=;i<=ns;i++)
- {
- if(g[x][i]&&getnum(i,t)>=)
- {
- dfs(t-base[i],i);
- dp[x][t]=((int)dp[x][t]+dp[i][t-base[i]])%m;
- }
- }
- return;
- }
- int main()
- {
- #ifndef ONLINE_JUDGE
- freopen("in.txt","r",stdin);
- #endif // ONLINE_JUDGE
- int T;
- scanf("%d",&T);
- memset(ok,,sizeof(ok));
- ok[]=;
- ok[]=;
- ok[]=;
- while(T--)
- {
- ini();
- memset(dp,-,sizeof(dp));
- int ans=;
- for(int i=;i<=ns;i++)
- {
- dfs(st-base[i],i);
- ans=((int)ans+dp[i][st-base[i]])%m;
- }
- for(int i=;i<=ns;i++)
- {
- while(num[i]>)
- {
- ans=((int)ans*num[i])%m;
- num[i]--;
- }
- }
- printf("%d\n",ans);
- }
- }
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