Max-Mahalanobis Linear Discriminant Analysis Networks
@article{pang2018max-mahalanobis,
title={Max-Mahalanobis Linear Discriminant Analysis Networks},
author={Pang, Tianyu and Du, Chao and Zhu, Jun},
pages={4013--4022},
year={2018}}
概
本文介绍了从最大化马氏距离的角度提出了一种defense.
主要内容
对于俩个分布来说, 区分样本属于哪一个分布, 最好的分类器就是贝叶斯分类, 特别的, 如果是高斯分布, 且协方差矩阵一致, 则其分类平面为
\]
其中
\]
\]
特别的, 当\(\Sigma\)为对角矩阵的时候, 其分类平面只与\(\mu_1-\mu_2\)有关.
设一个混合高斯分布:
\]
并定义
\]
因为神经网络强大的拟合分布能力, 我们可以假设\(\Sigma=I\)(文中将\Sigma$分解, 然后用变量替换可以得到, 马氏距离在此情况下具有不变性, 我觉得不如直接这么解释比较实在).
设想, 从第i个分布中采样\(x_{(i)} \sim \mathcal{N}(\mu_i, I)\), 将\(x_{(i)}\)移动到与\(j\)类的分类平面的距离设为\(d_{(i,j)}\),
定理: 如果\(\pi_i=\pi_j\), 则\(d_{(i,j)}\)的期望为
\]
其中\(\Phi\)表示正态分布函数.
注意, 这里的\(d_{i,j}\)是\(x\)到分类平面的距离, 也就是说, 如果\(x_{(i)}\)如果本身就位于别的类中, 同样也计算这个距离, 不公平, 当然如果这么考虑, 证明起来就相当麻烦了.
如果定义
\]
则我们自然希望\(\mathrm{RB}\)越大越好(越鲁棒, 但是根据我们上面的分析, 这个定义是存在瑕疵的). 然后通过导数, 进一步发现
\]
有定理:
所以, 作者的结论就是, 最后一层
\]
满足\((4)\), 为此作者设计了一个算法
去构造. 所以, 这最后一层的参数是固定不训练的. 余下的与普通的网络没有区别.
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