python基础（补充）：递归函数

在讲解递归函数之前我们先了解一下栈堆

单独讲栈堆是数据结构

• 栈：后进先出的一种数据结构
• 堆：排序后的一种树状数据结构

栈区堆区是内存空间

• 栈区：按照后进先出的数据结构(栈)，无论创建或销毁都是自动为数据分配内存，释放内存(系统自动做的)
• 堆区：按照排序后的树状数据结构(堆)，可优先取出必要数据，无论创建或销毁都是手动分配内存，释放内存(程序员手动做的)
• 内存中的栈区： 自动分配 自动释放
• 内存中的堆区： 手动分配 手动释放

运行程序时在内存中执行，会因为数据类型的不同而在内存的不同区域运行，因不同语言对内存划分的机制不一，但大体来讲，有如下四大区域：

• 栈区：分配局部变量空间。
• 堆区：是用于手动分配程序员申请的内存空间。
• 静态区(全局栈区)：分配静态变量，全局变量空间。
• 代码区(只读区，常量区)：分配常量和程序代码空间的。

栈区 堆区 静态区 代码区 都是内存中的一段空间

递归函数

在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。

举个例子，我们来计算阶乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n，用函数func(n)表示，可以看出：

func(n)=n!=1×2×3×⋅⋅⋅×(n−1)×n=(n−1)!×n=func(n−1)×n

所以，func(n)可以表示为n x func(n-1)，只有n=1时需要特殊处理。

于是，func(n)用递归的方式写出来就是：

def func(n):
    if n==1:
        return 1
    return n * func(n - 1)

上面就是一个递归函数。可以试试：

print(func(1))
# 1

print(func(5))
# 120

print(func(100))
# 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

如果我们计算func(5)，可以根据函数定义看到计算过程如下：

递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。

使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。可以试试func(1000)：

print(func(1000))
'''
Traceback (most recent call last):
  File "D:/python_project/mxxl/test/test.py", line 7, in <module>
    print(func(1000))
  File "D:/python_project/mxxl/test/test.py", line 4, in func
    return n * func(n - 1)
  File "D:/python_project/mxxl/test/test.py", line 4, in func
    return n * func(n - 1)
  File "D:/python_project/mxxl/test/test.py", line 4, in func
    return n * func(n - 1)
  [Previous line repeated 995 more times]
  File "D:/python_project/mxxl/test/test.py", line 2, in func
    if n==1:
RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison
'''

解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化。

尾递归

事实上尾递归和循环的效果是一样的，所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。

尾递归是指，在函数返回的时候，调用自身本身，并且，return语句不能包含表达式。

这样，编译器或者解释器就可以把尾递归做优化，使递归本身无论调用多少次，都只占用一个栈帧，不会出现栈溢出的情况。

上面的func(n)函数由于return n * func(n - 1)引入了乘法表达式，所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式，需要多一点代码，主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中：

def func(n):
    return func_iter(n, 1)

def func_iter(num, product):
    if num == 1:
        return product
    return func_iter(num - 1, num * product)

可以看到，return func_iter(num - 1, num * product)仅返回递归函数本身，num - 1和num * product在函数调用前就会被计算，不影响函数调用。

func(5)对应的func_iter(5, 1)的调用如下：

尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。

遗憾的是，大多数编程语言没有针对尾递归做优化，Python解释器也没有做优化，所以，即使把上面的func(n)函数改成尾递归方式，也会导致栈溢出。