「UNR#2」黎明前的巧克力

解题思路

考虑一个子集 \(S\) 的异或和如果为 \(0\) 那么贡献为 \(2^{|S|}\) ,不难列出生产函数的式子,这里的卷积是异或卷积。

\[[x^0]\prod_{i=1}^{n} (2x^{a_i}+1)
\]

因为每一项只有两项 \(x^0,x^{a_i}\) 有值,记 \(f_i(x) =2x^{a_i}+1\), \(f'_i(x)=\text{Fwt}f(x)\) ,有

\[f_i'(x)=\sum_{S} (1+2\times(-1)^{|S\cap a_i|})x^S
\]

不难发现 \(f'_i(x)\) 的每一项不是 \(3\) 就是 \(-1\) 。

这一步比较巧妙,考虑到 \(\text{Fwt}\) 是一个线性变换,线性变换的和等于和的线性变换,我们对所有多项式求和后 \(\text{Fwt}\) ,可以解方程解出每一项由多少个 \(3\) 和多少个 \(-1\) 构成。

设 \([x^S]f_i(x)\) 由 \(k\) 个 \(-1\) 贡献得到 \(k =\frac{3n-[x^S]f_i(x)}{4}\),然后我们要求所有多项式卷积的 \(\text{Fwt}\) 后的结果,即 \([x^S]=(-1)^k\times3^{n-k}\) ,最后再 \(\text{IFwt}\) 回去即可。

其实最后是不需要 \(\text{IFwt}\) 的,我们只需要求 \([x^0]F(x)\) 的值,根据 \(\text{IFwt}\) 的式子

\[F_S=\dfrac{1}{2^n}\sum_{T}(-1)^{|S\cap T|}F'_T
\]

所以 \([x^0]F(x)\) 的值就是每一项系数加起来除一个 \(2^n\) 。

小结 :遇到点值的时候不要只考虑套路,应当多观察性质。

code

/*program by mangoyang*/
#include <bits/stdc++.h>
#define inf (0x7f7f7f7f)
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
using namespace std;
template <class T>
inline void read(T &x){
int ch = 0, f = 0; x = 0;
for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - 48;
if(f) x = -x;
}
const int N = 2000005, mod = 998244353;
int a[N], n, res;
inline int Pow(int a, int b){
int ans = 1;
for(; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mod)
if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % mod;
return ans;
}
int main(){
read(n);
int tot = 20, len = 1 << 20;
for(int i = 1, x; i <= n; i++)
read(x), a[x] += 2, a[0]++;
for(int i = 0; i < tot; i++)
for(int s = 0; s < len; s++) if(s & (1 << i)){
int x = a[s], y = a[s^(1<<i)];
a[s^(1<<i)] = x + y >= mod ? x + y - mod : x + y;
a[s] = y - x < 0 ? y - x + mod : y - x;;
}
for(int i = 0; i < len; i++){
int k = ((3ll * n - a[i]) % mod + mod) % mod;
k = 1ll * k * Pow(4, mod - 2) % mod;
if(k & 1) res -= Pow(3, n - k);
else res += Pow(3, n - k);
if(res >= mod) res -= mod;
if(res < 0) res += mod;
}
cout << (1ll * res * Pow(len, mod - 2) % mod + mod - 1) % mod << endl;
return 0;
}

「UNR#2」黎明前的巧克力的更多相关文章

  1. UOJ #310「UNR #2」黎明前的巧克力

    神仙题啊... UOJ #310 题意 将原集合划分成$ A,B,C$三部分,要求满足$ A,B$不全为空且$ A$的异或和等于$ B$的异或和 求方案数 集合大小 $n\leq 10^6$ 值域$v ...

  2. 【UOJ#310】【UNR#2】黎明前的巧克力(FWT)

    [UOJ#310][UNR#2]黎明前的巧克力(FWT) 题面 UOJ 题解 把问题转化一下,变成有多少个异或和为\(0\)的集合,然后这个集合任意拆分就是答案,所以对于一个大小为\(s\)的集合,其 ...

  3. 【UNR #2】黎明前的巧克力 解题报告

    [UNR #2]黎明前的巧克力 首先可以发现,等价于求 xor 和为 \(0\) 的集合个数,每个集合的划分方案数为 \(2^{|S|}\) ,其中 \(|S|\) 为集合的大小 然后可以得到一个朴素 ...

  4. uoj310【UNR #2】黎明前的巧克力(FWT)

    uoj310[UNR #2]黎明前的巧克力(FWT) uoj 题解时间 对非零项极少的FWT的优化. 首先有个十分好想的DP: $ f[i][j] $ 表示考虑了前 $ i $ 个且异或和为 $ j ...

  5. [FWT] UOJ #310. 【UNR #2】黎明前的巧克力

    [uoj#310][UNR #2]黎明前的巧克力 FWT - GXZlegend - 博客园 f[i][xor],考虑优化暴力,暴力就是FWT xor一个多项式 整体处理 (以下FWT代表第一步) F ...

  6. @uoj - 310@ 【UNR #2】黎明前的巧克力

    目录 @description@ @solution@ @accepted code@ @details@ @description@ Evan 和 Lyra 都是聪明可爱的孩子,两年前,Evan 开 ...

  7. UOJ310. 【UNR #2】黎明前的巧克力 [FWT]

    UOJ 思路 显然可以转化一下,变成统计异或起来等于0的集合个数,这样一个集合的贡献是\(2^{|S|}\). 考虑朴素的\(dp_{i,j}\)表示前\(i\)个数凑出了\(j\)的方案数,发现这其 ...

  8. uoj310. 【UNR #2】黎明前的巧克力

    题目描述: uoj 题解: WTF. 看题解看了一个小时才看明白. 首先有状态$f[i][j]$表示前$i$个东西两人取,最后两人异或和为$j$的有多少方案. 转移为$f[i][j]=f[i-1][j ...

  9. UOJ#310.【UNR #2】黎明前的巧克力(FWT)

    题意 给出 \(n\) 个数 \(\{a_1, \cdots, a_n\}\),从中选出两个互不相交的集合(不能都为空),使得第一个集合与第二个集合内的数的异或和相等,求总方案数 \(\bmod 99 ...

随机推荐

  1. centos7安装mysql注意点

    yum安装yum -y install mariadb-server 启动服务systemctl start mariadb.service 开机自动启动systemctl enable mariad ...

  2. Nginx 高级配置--关于favicon.ico

    Nginx 高级配置--关于favicon.ico 作者:尹正杰 版权声明:原创作品,谢绝转载!否则将追究法律责任. 一.浏览器会默认帮咱们访问官网的图标 1>.浏览器访问网站"htt ...

  3. Resin开放远程调试端口

    Resin开放远程调试端口在启动加载的resin.xml中,找到  <server-default>, 在其下加入 <jvm-arg>-Xdebug</jvm-arg&g ...

  4. html中常用的转义字符总结

      不断行的空格   半方大的空格     全方大的空格 <   小于 < > 大于 > & &符号 " 双引号" ©     版权符号© ...

  5. django rest framework 解析器组件 接口设计,视图组件 (2)

    1. 使用视图组件进行接口优化 1.1 使用视图组件的mixin进行接口逻辑优化 - 导入mixin from rest_framework.mixinx import ( ListModelMix, ...

  6. C#进程间通讯或同步的框架引荐

    这篇文章主要介绍了一个进程间通讯同步的C#框架,代码具有相当的稳定性和可维护性,随着.NET的开源也会被注入更多活力,推荐!需要的朋友可以参考下  0.背景简介 微软在 .NET 框架中提供了多种实用 ...

  7. 使用WIFI网卡iw

    上篇博客中,配置修改了内核,以支持所选择的USB网卡,本篇博客需要去编写一些应用程序,将wifi网卡使用起来. 1.1 概念:认证/加密认证:就是用来判断哪些用户可以使用这个无线网络加密:是指手机和A ...

  8. idea每次新建项目的默认路径

    idea每次新建项目的默认路径 每次新建项目的默认路径是上一次新建项目所在的文件夹.第一次需要手动切换.

  9. mybatis框架-使用resultMap实现高级结果映射,collection属性的使用

    需求:获取指定用户的用户信息和地址列表 修改user实体类  添加集合的引用. /** * 根绝用户id,获取该角色下的地址信息 * @param userID * @return */ public ...

  10. 【DP】【P5615】 [MtOI2019] 时间跳跃

    Description 给定 \(n\) 条边,第 \(i\) 条边的长度为 \(i\),每条边都有 \(50\%\) 的概率被选择,求如果选出的边能组成一个平面凸多边形,则方案的权值是方案中边的数量 ...