Hackerrank: Week of Code 36

Cut a Strip

题目简述：给定$n \times m$的矩阵$a[][]$，要求选择一个$x \times 1(1 \leq x \leq k)$的（连续）子矩阵并清零后，找到最大和的（连续）子矩阵。

数据范围：$1 \leq n, m, k \leq 380$。

题解：

子矩阵可以用四个参数表示$(x_1, y_1, x_2, y_2)$，其中$(x_1, y_1)$是其左上角，$(x_2, y_2)$是其右下角。

我们枚举子矩阵的$y_1$和$y_2(1 \leq y_1 \leq y_2 \leq m)$，令$c[i] = a[i][y_1]+\dots+a[i][y_2](1 \leq i \leq n)$。

接着枚举子矩阵经过的某行$x(1 \leq x \leq n)$，则经过第$x$行的子矩阵的最大和为

（$c[1], \dots, c[x-1]$的最大后缀和）+（$c[x+1], \dots, c[n]$的最大前缀和）+（把$a[x][y_1], \dots, a[x][y_2]$中连续不超过$k$个值清零的最大和）

前两个可以预处理得到，关键在于第三个部分。

注意到

（把$a[x][y_1], \dots, a[x][y_2]$中连续不超过$k$个值清零的最大和）=c[x]-（$a[x][y_1], \dots, a[x][y_2]$中连续不超过$k$个的最小和）

后者可以利用单调队列求得。

时间复杂度$O(n^3)$。

注：单调队列求数组$a[1], \dots, a[n]$的长度不超过$k$的连续子数组最小和。令$s[i] = a[1]+\dots+a[i]$表示其前缀和。

即需依次对每个$1 \leq i \leq n$，求

$$ \min_{i-k \leq j \leq i} \{s[i]-s[j]\} = s[i] - \max_{i-k \leq j \leq i} \{s[j]\} $$

从而维护区间$[i-k, i]$的最大值即可。

Expert Computation

题目简述：依次给出$n$个二维点$(x[i], y[i])$以及$1 \leq z[i] \leq i$，且$x[i] < x[i+1]$严格递增。强制在线依次回答

$$ \max_{1 \leq j \leq z[i]} {x[j]*y[i]-y[j]*x[i]} $$

数据范围：$1 \leq n \leq 1,000,000.$

题解：

先不考虑强制在线，即允许离线回答，则可把询问按照$z[i]$从小到大排序，然后依次维护下凸壳，回答询问时，由于下凸壳斜率单调递增，二分答案即可。

若强制在线，则可持久化维护下凸壳即可。但$n$很大，常数以及空间复杂度承受不了，只能另辟蹊径。

注意到$x[i]$严格单调增，故所维护的下凸壳的各个历史版本（history version）中，每个点（如果这个点在当前下凸壳上的话）在下凸壳上的前驱是【固定】的。

对每个点，倍增地维护这个点的$2^k$次前驱，如$pre[i][k]$就可表示第$i$个点的$2^k$次前驱。

二分答案时利用倍增特点，可在$O(\log n)$复杂度内解决。

时间空间复杂度均为$O(n \log n)$。