【区间dp+组合数+数学期望】Expression
https://www.bnuoj.com/v3/contest_show.php?cid=9148#problem/I
【题意】
给定n个操作数和n-1个操作符,组成一个数学式子。每次可以选择两个相邻操作数及中间的操作符进行运算,如a-b变成一个数(a-b),直到这个式子变成一个数。同一个初始式子可以进行不同的操作,最后的结果也可能不同。最后求不同操作得到结果的和(mod 1000 000 007)
对于两个操作,只要存在一步是不同的,这两个操作就被认为是不同的。
【思路】
总体思路是区间dp,对于dp[i][j],枚举k(i<=k<j),考察dp[i][k]和dp[k+1][j]
具体做的时候可以分别考虑*,+,-三种运算,用组合数学;
还有一种非常非常巧妙的办法:数学期望!
组合数学:
比较明显的区间dp,令dp[l][r]为闭区间[l,r]的所有可能的结果和,考虑最后一个符号的位置k,k必须在l,r之间,则l≤k<r,dp[l][r]=Σ{dp[l][k]?dp[k+1][r]}*(r-l-1)!/[(k-l)!(r-k-1)!],其中(r-l-1)!/[(k-l)!(r-k-1)!]表示从左区间和右区间选择符号的不同方法总数(把左右区间看成整体,那么符号的选择在整体间也有顺序,内部的顺序不用管,那是子问题需要考虑的),相当于(k-l)个0和(r-k-1)个1放一起的不同排列方法总数。
对花括号里面的‘?‘分为三种情况:
(1)‘+‘ 假设左区间有x种可能的方法,右区间有y种可能的方法,由于分配律的存在,左边的所有结果和会重复计算y次,右边的所有结果和会重复计算x次,而左边共(k-l)个符号,右边共(r-k-1)个符号,所以合并后的答案dp[l][r]=dp[l][k]*(r-k-1)!+dp[k+1][r]*(k-l)!
(2)‘-‘ 与‘+‘类似
(3)‘*‘ 由分配律,合并后的答案dp[l][r]=dp[l][k]*dp[k+1][r]
数学期望:
如果将这个过程随机化,即每次等概率地选取相邻两项合并,
记dp[i][j]为随机合并第i个到第j个数字这一段的表达式之后结果的期望,
根据期望的线性可加性,状态转移方程为
dp[i][j]=(sigma_(k=i~j-1)(dp[i][k]?dp[k+1][j]))/(j-i),
其中"?"表示第k个数与第k+1个数之间的运算符,
那么dp[1][n]即为随机合并整个表达式之后结果的期望,
乘上方案数(n-1)!即为所求的总和,
由于是取模意义下的运算,转移方程中的除法要用逆元代替,
复杂度O(n^3)。
【Accepted】
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath> using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e2+;
const ll mod=1e9+;
ll a[maxn];
char op[maxn];
ll dp[maxn][maxn];
ll fpow(ll x,ll n)
{
ll res=1LL;
while(n)
{
if(n&)
{
res=(res*x)%mod;
}
x=(x*x)%mod;
n>>=;
}
return res;
}
ll fact[maxn];
ll nfact[maxn];
int n;
void init()
{
fact[]=1LL;
for(int i=;i<maxn;i++)
{
fact[i]=(fact[i-]*(ll)i)%mod;
}
nfact[]=1LL;
for(int i=;i<maxn;i++)
{
nfact[i]=fpow(fact[i],mod-);
}
}
int main()
{
init();
while(~scanf("%d",&n))
{
memset(dp,,sizeof(dp));
for(int i=;i<n;i++)
{
cin>>a[i];
}
scanf("%s",op);
for(int i=;i<n;i++)
{
dp[i][i]=a[i];
}
for(int l=;l<n;l++)
for(int i=;i+l<n;i++)
{
int j=i+l;
for(int k=i;k<j;k++)
{
ll add;
if(op[k]=='+')
{
add=(dp[i][k]*fact[j--k]%mod+dp[k+][j]*fact[k-i]%mod)%mod;
}
else if(op[k]=='-')
{
add=(dp[i][k]*fact[j--k]%mod-dp[k+][j]*fact[k-i]%mod+mod)%mod;
}
else
{
add=(dp[i][k]*dp[k+][j]%mod)%mod;
}
add=(add*fact[l-]%mod*nfact[j--k]%mod*nfact[k-i]%mod)%mod;
dp[i][j]=(dp[i][j]+add)%mod;
}
}
cout<<dp[][n-]<<endl; }
return ;
}
区间dp+组合数
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath> using namespace std;
typedef long long ll;
const ll md=1e9+;
ll fpow(ll x,ll n)
{
ll res=1LL;
while(n)
{
if(n&)
{
res=(res*x)%md;
}
x=(x*x)%md;
n>>=;
}
return res;
}
const int maxn=1e2+;
ll a[maxn];
char op[maxn];
ll dp[maxn][maxn];
ll fact[maxn];
void init()
{
fact[]=1LL;
for(int i=;i<maxn;i++)
{
fact[i]=(fact[i-]*(ll)i)%md;
}
}
int n;
int main()
{
init();
while(~scanf("%d",&n))
{
memset(dp,,sizeof(dp));
for(int i=;i<n;i++)
{
cin>>a[i];
}
scanf("%s",op);
for(int i=;i<n;i++)
{
dp[i][i]=a[i];
}
for(int l=;l<n;l++)
{
for(int i=;i+l<n;i++)
{
int j=i+l;
for(int k=i;k<j;k++)
{
ll add;
if(op[k]=='+')
{
add=(dp[i][k]+dp[k+][j])%md;
}
else if(op[k]=='-')
{
add=(dp[i][k]-dp[k+][j]+md)%md;
}
else
{
add=(dp[i][k]*dp[k+][j])%md;
}
dp[i][j]=(dp[i][j]+add)%md;
}
dp[i][j]=(dp[i][j]*fpow(l,md-))%md;
}
}
ll ans=(dp[][n-]*fact[n-])%md;
cout<<ans<<endl;
}
return ;
}
区间dp+数学期望(随机化过程,期望的线性可加性)
【知识点】
1. 取模意义下的除法不能直接除,要用逆元代替。根据费马小定理,a^(p-1)=1(mod p),所以a^(p-2)=(1/a)(mod p),所以a的逆元就是a^p-2。通常p是一个很大的素数,如经常见到的1e9+7,所以要用快速幂。
快速幂模板
ll fpow(ll x,ll n)
{
ll res=1LL;
while(n)
{
if(n&)
{
res=(res*x)%mod;
}
x=(x*x)%mod;
n>>=;
}
return res;
}
2. 组合数C(i,j)有两种算法:
第一种:
fac(i+j)*nfac(i)*nfac(j)
//其中nfac(i)=fastpow(fac(i),mod-2)
第二种:
C[][]=;
for (int i=;i<;i++)
{
C[i][]=;
for (int j=;j<=i;j++)
{
C[i][j]=(C[i-][j-]+C[i-][j])%md;
}
}
3. 在取模运算下,要注意减法,a-b通常要写成(a-b+md)%md
总之注意不要算出负数
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