钥匙计数之二

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 987    Accepted Submission(s): 564

Problem Description
一把钥匙有N个槽,2<N<26槽深为1,2,3,4,5,6。每钥匙至少有3个不同的深度且相连的槽其深度之差不得为5。求这样的钥匙的总数。
 
Input
本题无输入
 
Output
对2<N<26,输出满足要求的钥匙的总数。
 
Sample Output
N=3: 104 N=4: 904 N=5: 5880 . . . . . N=25: 8310566473196300280
 
此题类似于区间DP,有两种思考方式,从前往后和从后往前想,此题从前往后想,int x=0,int y=0;
对于每种分类考虑是否有遗漏和重复 
解法1
假设前n-1个是钥匙,如果加上2,3,4,5是钥匙,那么 x+=4*a[n-1];
如果加上1,6是钥匙的话,那么要除去n-1位是6,1的情况, y+=2*a[i-1]-b[i-1];
假设前n-1个不是钥匙,如果加上2,3,4,5是钥匙,那么x+=4*(C(3,2)+C(3,1)*C(2,1))*((2^(i-1))-2)(由于前n-1个不是钥匙,所以前n-1个只有两种数,不能同时为1和6)
如果加上1,6是钥匙,那么y+=2*(C(4,2)*(2^(i-1)-2)+(C(4,1)*(2^i-2)-1))(从2,3,4,5中选两个,和从2,3,4,5中选一个,对于1选6,对于6选1,两个都放在n-1位置上。)
每一次利用上次处理得到的y(以1或者6结尾的钥匙)更新b[i],b[i]=y;
解法二
定义两种状态,d[i]代表以1和6结尾,dp[i]代表以2 3 4 5结尾
 
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <cstring>
__int64 a[26],b[26];
void init()
{
   memset(a,0,sizeof(a));
   memset(b,0,sizeof(b));
   a[2]=0;
   a[3]=104;
   b[2]=0;
   b[3]=32;
}
__int64 g(__int64 k ,int b)
{
    __int64 sum=1;
    for(int i=1;i<=b;i++)
     sum*=k;
     return sum;
}
void solve()
{
       for(int i=4;i<=25;i++)
   {
       __int64 x=0,y=0;
       x+=4*a[i-1];
       y+=(2*a[i-1]-b[i-1]);
       x+=4*9*(g(2,i-1)-2);
       y+=2*(6*(g(2,i-1)-2)+4*(g(2,i-2)-1));
       a[i]=x+y;
       b[i]=y;
   }
}
void output()
{
    for(int i=3;i<=25;i++)
        printf("N=%d: %I64d\n",i,a[i]);
}
int main()
{
    //printf("%I64d\n",g(2,25));
 init();
 solve();
 output();
 return 0;
}

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