bzoj 3512: DZY Loves Math IV【欧拉函数+莫比乌斯函数+杜教筛】

参考：http://blog.csdn.net/wzf_2000/article/details/54630931

有这样一个显然的结论：当\( |\mu(n)|==1 \)时，\( \phi(nk)=\phi(k)\sum_{d|gcd(n,k)}\phi(\frac{n}{d}) \)然后看n的范围比较友好就先不去管它，先看后面的：

\[if |\mu(i)|==1
\]

\[\sum_{k=1}^{i}\sum_{d|i,d|k}\phi(\frac{n}{d})\phi(k)
\]

\[=\sum_{d|i}\phi(\frac{n}{d})\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}\phi(dk)
\]

发现这形成了一个子问题的形式，于是可以用杜教筛。

对于其他的部分，k是i的因数中最大的且\( |\mu(k)|==1 \)的数：

\[if |\mu(i)|==0
\]

\[\sum_{j=1}^{m}\phi(ij)=\frac{i\sum_{j=1}^{m}\phi(kj)}{k}
\]

时间复杂度不会算

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1000005,m=1000000,mod=1e9+7;
int phi[N],mi[N],q[N],tot,n,k,s[N],ans[N];
bool v[N];
map<long long,int>mp;
int S(int n,int l)
{
	if(l<=1)
		return phi[n*l];
	if(n==1)
	{
		if(l<=m)
			return s[l];
		if(ans[k/l]!=-1)
			return ans[k/l];
		long long re=(long long)l*(l+1)/2%mod;
		for(int i=2,la;i<=l;i=la+1)
		{
			la=l/(l/i);
			if(l/i<=m)
				re=(re-(long long)s[l/i]*(la-i+1)%mod)%mod;
			else
				re=(re-(long long)S(1,l/i)*(la-i+1)%mod)%mod;
		}
		return ans[k/l]=(re%mod+mod)%mod;
	}
	if(mp[(long long)n*mod+l])
		return mp[(long long)n*mod+l];
	long long re=0ll;
	for(int i=1;i*i<=n;i++)
		if(n%i==0)
		{
			re=(re+(long long)phi[n/i]*S(i,l/i)%mod)%mod;
			if(i*i!=n)
				re=re+(long long)phi[i]*S(n/i,l/(n/i))%mod;
		}
	return mp[(long long)n*mod+l]=(re%mod+mod)%mod;
}
int main()
{
	memset(ans,-1,sizeof(ans));
	mi[1]=phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		if(!v[i])
		{
			q[++tot]=i;
			phi[i]=i-1;
			mi[i]=i;
		}
		for(int j=1;j<=tot&&i*q[j]<=m;j++)
		{
			int k=i*q[j];
			v[k]=1;
			if(i%q[j]==0)
			{
				phi[k]=phi[i]*q[j];
				mi[k]=mi[i];
				break;
			}
			phi[k]=phi[i]*(q[j]-1);
			mi[k]=mi[i]*q[j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
		s[i]=(s[i-1]+phi[i])%mod;
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	if(n>k)
		swap(n,k);
	long long ans=0ll;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans=(ans+((long long)i/mi[i]*S(mi[i],k)%mod))%mod;
	printf("%lld\n",(ans%mod+mod)%mod);
	return 0;
}