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题目出处:

https://www.vijos.org/p/1057

题目描述:

给一个N*M的土地,由0和1表示,0表示瑕疵,1表示完好,找出最大的完好的正方形土地?

输入:

输入文件第一行为两个整数n,m(1<=n,m<=1000),接下来n行,每行m个数字,用空格隔开。0表示该块土地有瑕疵,1表示该块土地完好

4 4

0 1 1 1

1 1 1 0

0 1 1 0

1 1 0 1

思路分析:

首先看数据范围,1~1000,存储地图需要O(n*m)的内存空间,空间复杂度可控;再看时间复杂度,遍历所有点为O(n*m);

为什么要先分析空间及时间复杂度呢?因为很多时候,数据规模就决定了算法,如果数据规模为1~1000000000,你还会考虑O(n*n)的算法吗,肯定不会,这种数据一看就知道最优解法为线性复杂度O(n)的算法;

列举如下3处情况:图中彩色方框都为1,白色方框都为0

假设地图中存在一个最大的正方形,则该正方形存在一个右下角P点,且该点为1;

如果当某一个点P(i,j)为0时,则以该点为右下角不存在正方形,所以该点也不可能在最大的正方形中。

不同情况列举:

图P1.1

当P(i,j)=1时,可以看出以P为右下角,最优解由红色边长决定,即以P点为起点,向左连续为1的最多个数,木桶原理

图P1.2

当P(i,j)=1时,可以看出以P为右下角,最优解由紫色边长决定,即以M点为右下角能组成的最大的正方形

图P1.3

当P(i,j)=1时,可以看出以P为右下角,最优解由绿色边长决定,即以P点为起点,向上连续为1的最多个数

则可以建立如下DP公式

设f[i][j]:以点(i,j)为右下角,能组成的最大正方形边长

left[i][j]:以点(i,j)为起点,向左最大连续1的个数,提前初始化

up[i][j]:以点(i,j)为起点,向上最大连续1的个数,提前初始化

f[i][j]=max(f[i-1][j-1]+1, left[i][j], up[i][j])

注:地图为一行或者一列时,提前预处理,方便后面递推

C++源码如下:

github: https://github.com/Kyle-Wilson1/Vijos/tree/master/P1057

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <vector> using namespace std; struct Node {
int left, up;
}; int main() {
ifstream cin("a.in");
ofstream cout("a.out"); vector<vector<int>> f(1000, vector<int>(1000, 0));
vector<vector<int>> map(1000, vector<int>(1000, 0));
Node initNode{0, 0};
vector<vector<Node>> node(1000, vector<Node>(1000, initNode)); int n, m, i, j, maxSquare = 0; cin >> n >> m;
//input
for (i = 0; i < n; i++)
for (j = 0; j < m; j++)
cin >> map[i][j]; //init left
for (i = 0; i < n; i++)
for (j = 0; j < m; j++) {
if (j == 0) {
if (map[i][j] == 1) {
node[i][j].left = 1;
} else { node[i][j].left = 0; }
} else {
if (map[i][j] == 1) {
node[i][j].left = node[i][j - 1].left + 1;
} else {
node[i][j].left = 0;
}
}
} //init up
for (j = 0; j < m; j++)
for (i = 0; i < n; i++) {
if (i == 0) {
if (map[i][j] == 1) {
node[i][j].up = 1;
} else { node[i][j].up = 0; }
} else {
if (map[i][j] == 1) {
node[i][j].up = node[i - 1][j].up + 1;
} else {
node[i][j].up = 0;
}
}
} auto maxOfTwo = [](int a, int b) { return a > b ? a : b; };
auto minOfThree = [](int a, int b, int c) { return a < b ? a < c ? a : c : b < c ? b : c; }; //dynamic programming
for (i = 0; i < n; i++) {
if (map[i][0] == 1) {
f[i][0] = 1;
maxSquare = 1;
} else f[i][0] = 0;
} for (j = 1; j < m; j++) {
if (map[0][j] == 1) {
f[0][j] = 1;
maxSquare = 1;
} else f[0][j] = 0;
} for (i = 1; i < n; i++)
for (j = 1; j < m; j++) {
f[i][j] = minOfThree(node[i][j].left, node[i][j].up, f[i - 1][j - 1] + 1);
maxSquare = maxOfTwo(f[i][j], maxSquare);
} cout << maxSquare;
cin.close();
cout.close();
return 0;
}

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