Vijos-P1057题解
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题目出处:
题目描述:
给一个N*M的土地,由0和1表示,0表示瑕疵,1表示完好,找出最大的完好的正方形土地?
输入:
输入文件第一行为两个整数n,m(1<=n,m<=1000),接下来n行,每行m个数字,用空格隔开。0表示该块土地有瑕疵,1表示该块土地完好
4 4
0 1 1 1
1 1 1 0
0 1 1 0
1 1 0 1
思路分析:
首先看数据范围,1~1000,存储地图需要O(n*m)的内存空间,空间复杂度可控;
再看时间复杂度,遍历所有点为O(n*m);
为什么要先分析空间及时间复杂度呢?因为很多时候,数据规模就决定了算法,如果数据规模为1~1000000000,你还会考虑O(n*n)的算法吗,肯定不会,这种数据一看就知道最优解法为线性复杂度O(n)的算法;
列举如下3处情况:图中彩色方框都为1,白色方框都为0
假设地图中存在一个最大的正方形,则该正方形存在一个右下角P点,且该点为1;
如果当某一个点P(i,j)为0时,则以该点为右下角不存在正方形,所以该点也不可能在最大的正方形中。
不同情况列举:
图P1.1
当P(i,j)=1时,可以看出以P为右下角,最优解由红色边长决定,即以P点为起点,向左连续为1的最多个数,木桶原理
图P1.2
当P(i,j)=1时,可以看出以P为右下角,最优解由紫色边长决定,即以M点为右下角能组成的最大的正方形
图P1.3
当P(i,j)=1时,可以看出以P为右下角,最优解由绿色边长决定,即以P点为起点,向上连续为1的最多个数
则可以建立如下DP公式
设f[i][j]:以点(i,j)为右下角,能组成的最大正方形边长
left[i][j]:以点(i,j)为起点,向左最大连续1的个数,提前初始化
up[i][j]:以点(i,j)为起点,向上最大连续1的个数,提前初始化
f[i][j]=max(f[i-1][j-1]+1, left[i][j], up[i][j])
注:地图为一行或者一列时,提前预处理,方便后面递推
C++源码如下:
github: https://github.com/Kyle-Wilson1/Vijos/tree/master/P1057
- #include <iostream>
- #include <fstream>
- #include <vector>
- using namespace std;
- struct Node {
- int left, up;
- };
- int main() {
- ifstream cin("a.in");
- ofstream cout("a.out");
- vector<vector<int>> f(1000, vector<int>(1000, 0));
- vector<vector<int>> map(1000, vector<int>(1000, 0));
- Node initNode{0, 0};
- vector<vector<Node>> node(1000, vector<Node>(1000, initNode));
- int n, m, i, j, maxSquare = 0;
- cin >> n >> m;
- //input
- for (i = 0; i < n; i++)
- for (j = 0; j < m; j++)
- cin >> map[i][j];
- //init left
- for (i = 0; i < n; i++)
- for (j = 0; j < m; j++) {
- if (j == 0) {
- if (map[i][j] == 1) {
- node[i][j].left = 1;
- } else { node[i][j].left = 0; }
- } else {
- if (map[i][j] == 1) {
- node[i][j].left = node[i][j - 1].left + 1;
- } else {
- node[i][j].left = 0;
- }
- }
- }
- //init up
- for (j = 0; j < m; j++)
- for (i = 0; i < n; i++) {
- if (i == 0) {
- if (map[i][j] == 1) {
- node[i][j].up = 1;
- } else { node[i][j].up = 0; }
- } else {
- if (map[i][j] == 1) {
- node[i][j].up = node[i - 1][j].up + 1;
- } else {
- node[i][j].up = 0;
- }
- }
- }
- auto maxOfTwo = [](int a, int b) { return a > b ? a : b; };
- auto minOfThree = [](int a, int b, int c) { return a < b ? a < c ? a : c : b < c ? b : c; };
- //dynamic programming
- for (i = 0; i < n; i++) {
- if (map[i][0] == 1) {
- f[i][0] = 1;
- maxSquare = 1;
- } else f[i][0] = 0;
- }
- for (j = 1; j < m; j++) {
- if (map[0][j] == 1) {
- f[0][j] = 1;
- maxSquare = 1;
- } else f[0][j] = 0;
- }
- for (i = 1; i < n; i++)
- for (j = 1; j < m; j++) {
- f[i][j] = minOfThree(node[i][j].left, node[i][j].up, f[i - 1][j - 1] + 1);
- maxSquare = maxOfTwo(f[i][j], maxSquare);
- }
- cout << maxSquare;
- cin.close();
- cout.close();
- return 0;
- }
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