P2216 [HAOI2007]理想的正方形

题目描述

有一个a*b的整数组成的矩阵，现请你从中找出一个n*n的正方形区域，使得该区域所有数中的最大值和最小值的差最小。

输入输出格式

输入格式：

第一行为3个整数，分别表示a,b,n的值

第二行至第a+1行每行为b个非负整数，表示矩阵中相应位置上的数。每行相邻两数之间用一空格分隔。

输出格式：

仅一个整数，为a*b矩阵中所有“n*n正方形区域中的最大整数和最小整数的差值”的最小值。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 4 2
1 2 5 6
0 17 16 0
16 17 2 1
2 10 2 1
1 2 2 2

输出样例#1： 复制

1

说明

问题规模

（1）矩阵中的所有数都不超过1,000,000,000

（2）20%的数据2<=a,b<=100,n<=a,n<=b,n<=10

（3）100%的数据2<=a,b<=1000,n<=a,n<=b,n<=100

线性ST表的变式：

dp[i][j][k]:代表以坐标(i,j)左上角，边长为2^k的正方形的最大差值
（类比线性ST表，它更新的方法是：一个区间取出两个相同长度（2^n）部分）
所以这里用来更新的方法应该是：一个正方形区间取出四个相同面积部分

dp[i][j][k]=opt(dp[i][j][k-1],dp[i][j+(1<<(k-1))][k-1],dp[i+(1<<(k-1))][j][k-1],dp[i+(1<<(k-1))][j+(1<<(k-1))][k-1]);

1.三维

正常纯矩阵ST表

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 1005
typedef long long ll;
#define inf 2147483647
#define ri register int
#define getchar() (Ss==Tt&&(Tt=(Ss=BB)+fread(BB,1,1<<15,stdin),Ss==Tt)?EOF:*Ss++)
char BB[ << ], *Ss = BB, *Tt = BB;
inline int read()
{
    int x=;
    int ch=getchar(),f=;
    while (!isdigit(ch)&&(ch!='-')&&(ch!=EOF)) ch=getchar();
    if (ch=='-')
    {
        f=-;
        ch=getchar();
    }
    while (isdigit(ch))
    {
        x=(x<<)+(x<<)+ch-'';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}

int a,b;
int n;
int S[maxn][maxn][];
int T[maxn][maxn][];
int l,K;

int query(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    int t=<<l;
    int MIN=min(min(S[x1][y1][l],S[x2-t+][y1][l]),
                min(S[x1][y2-t+][l],S[x2-t+][y2-t+][l])
               );
    int MAX=max(max(T[x1][y1][l],T[x1][y2-t+][l]),
                max(T[x2-t+][y2-t+][l],T[x2-t+][y1][l])
               );
    return MAX-MIN;
}

int main()
{
    memset(S,0x3f,sizeof(S));
//    freopen("test.txt","r",stdin);
    a=read(),b=read(),n=read();
    for(int i=; i<=a; i++)
        for(int j=; j<=b; j++)
            S[i][j][]=T[i][j][]=read();

    K=log2(min(a,b));
    l=log2(n);

    for(int k=; k<=K; k++)
    {
        int t=<<(k-);
        for(int i=; i<=a-t; i++)
            for(int j=; j<=b-t; j++)
            {
                S[i][j][k]=min(min(S[i][j][k-],S[i][j+t][k-]),
                               min(S[i+t][j][k-],S[i+t][j+t][k-])
                              );
                T[i][j][k]=max(max(T[i][j][k-],T[i][j+t][k-]),
                               max(T[i+t][j][k-],T[i+t][j+t][k-])
                              );
            }
    }
    int ans=inf;
    for(int i=; i<=a-n+; i++)
        for(int j=; j<=b-n+; j++)
        {
//            cout<<query(i,j,i+n-1,j+n-1)<<endl;
            ans=min(ans,query(i,j,i+n-,j+n-));
        }
    cout<<ans;

    return ;
}

2. 二维优化

仔细发现显然可以压成二维，省去k长度那一维，不影响结果

在三维的基础上，令dp[i][j]=min(dp[i][j][0~k])   k为log2(n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 1005
typedef long long ll;
#define inf 2147483647
#define ri register int
#define getchar() (Ss==Tt&&(Tt=(Ss=BB)+fread(BB,1,1<<15,stdin),Ss==Tt)?EOF:*Ss++)
char BB[ << ], *Ss = BB, *Tt = BB;
inline int read()
{
    int x=;
    int ch=getchar(),f=;
    while (!isdigit(ch)&&(ch!='-')&&(ch!=EOF)) ch=getchar();
    if (ch=='-')
    {
        f=-;
        ch=getchar();
    }
    while (isdigit(ch))
    {
        x=(x<<)+(x<<)+ch-'';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}

int a,b;
int n;
int S[maxn][maxn];
int T[maxn][maxn];
int l,K;

int query(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    int t=<<l;
    int MIN=min(min(S[x1][y1],S[x2-t+][y1]),
                min(S[x1][y2-t+],S[x2-t+][y2-t+])
               );
    int MAX=max(max(T[x1][y1],T[x1][y2-t+]),
                max(T[x2-t+][y2-t+],T[x2-t+][y1])
               );
    return MAX-MIN;
}

int main()
{
    memset(S,0x3f,sizeof(S));
//    freopen("test.txt","r",stdin);
    a=read(),b=read(),n=read();
    for(int i=; i<=a; i++)
        for(int j=; j<=b; j++)
            S[i][j]=T[i][j]=read();

    l=log2(n);

    for(int k=; k<=l; k++)
    {
        int t=<<(k-);
        for(int i=; i<=a-t; i++)
            for(int j=; j<=b-t; j++)
            {
                S[i][j]=min(min(S[i][j],S[i][j+t]),
                               min(S[i+t][j],S[i+t][j+t])
                              );
                T[i][j]=max(max(T[i][j],T[i][j+t]),
                               max(T[i+t][j],T[i+t][j+t])
                              );
            }
    }
    int ans=inf;
    for(int i=; i<=a-n+; i++)
        for(int j=; j<=b-n+; j++)
        {
//            cout<<query(i,j,i+n-1,j+n-1)<<endl;
            ans=min(ans,query(i,j,i+n-,j+n-));
        }
    cout<<ans;

    return ;
}

3.ST表+单调队列

先创线性的ST表得到每行的opt值，然后选择指定行数，再单调队列处理

mi[i][j][k]:代表第i行，从第j列向右长度为2^k范围中最小数
如果是线性的话qmi这里应该是由一个head,一个tail代替

但是这里是矩阵，还要考虑行的存在
qmi[i][1]:用来存真正最小数
qmi[i][0]:用来存横坐标，控制范围防止越界

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 1005
typedef long long ll;
#define inf 9999999999
#define re register

inline int read()
{
    int x=;
    int ch=getchar(),f=;
    while (!isdigit(ch)&&(ch!='-')&&(ch!=EOF)) ch=getchar();
    if (ch=='-')
    {
        f=-;
        ch=getchar();
    }
    while (isdigit(ch))
    {
        x=(x<<)+(x<<)+ch-'';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
} //读优

int ma[maxn][maxn][],mi[maxn][maxn][];
int qma[maxn][],qmi[maxn][];
int n,m,t;
int ans=inf;

//查询第k行的第x列到第y列的最大值
int queryma(int k,int x1,int x2)
{
    int l=log2(x2-x1+);//刚好覆盖或大于x2-x1一半的2的幂指数
    return max(ma[k][x1][l],ma[k][x2-(<<l)+][l]);
}
int querymi(int k,int x1,int x2)
{
    int l=log2(x2-x1+);
    return min(mi[k][x1][l],mi[k][x2-(<<l)+][l]);
}

int main()
{
//    freopen("test.txt","r",stdin);
    n=read(),m=read(),t=read();
    int l=log2(max(n,m));
    fill(&mi[][][],&mi[maxn-][maxn-][],inf);
    for(int i=; i<=n; i++)
        for(int j=; j<=m; j++)
            ma[i][j][]=mi[i][j][]=read();
    for(int i=; i<=n; i++)
        for(int k=; k<=l; k++)
        {
            int x=<<(k-);
            for(int j=; j<=m-x; j++)
            {
                ma[i][j][k]=max(ma[i][j][k-],ma[i][j+x][k-]);
                mi[i][j][k]=min(mi[i][j][k-],mi[i][j+x][k-]);
            }
        }

    //遍历列（找起点）
    for(int i=; i<=m; i++)
    {
        if(i+t->m)break;
        int h1=,h2=;
        int t1=,t2=;

        //单调队列：每次寻找最具潜力的数，然后删掉那些没用的数
        for(int j=; j<=n; j++)
        {
            int x=queryma(j,i,i+t-);//横向比较，询问第j行，取出(i~i+t-1)中最大数
            while(x>=qma[t1][]&&h1<=t1)t1--;//这里是纵向比较
            qma[++t1][]=x;
            qma[t1][]=j;//同时记录行

            x=querymi(j,i,i+t-);
            while(x<=qmi[t2][]&&h2<=t2)t2--;
            qmi[++t2][]=x;
            qmi[t2][]=j;

    //为了满足这个正方形，横坐标小于(j-t)都不属于这个范围，所以h++，跳到单调队列的下一个点
            if(j>=t)
            {
                while(j-t>=qma[h1][])h1++;
                while(j-t>=qmi[h2][])h2++;
                ans=min(ans,qma[h1][]-qmi[h2][]);
            }
        }
    }

    cout<<ans;
    return ;
}