校内模拟赛 Label
题意:
n个点m条边的无向图,有些点有权值,有些没有。边权都为正。给剩下的点标上数字,使得$\sum\limits_{(u,v)\in E}len(u,v) \times (w[u] - w[v]) ^ 2$最小。
分析:
$$\begin{aligned}\sum_{x\to v}(w_v-w_x)^2\cdot len_v&=\sum_{x\to v}(w_v^2-2w_vw_x+w_x^2)\cdot len_v\\&=\left(\sum len_v\right)w_x^2+\left(\sum-2len_vw_v\right)w_x+\sum len_vw_v^2\end{aligned}$$
这是一个二次函数,可以知道取最小值的时候:$$w_x=\frac{\sum w_vlen_v}{\sum len_v}$$
根据这个可以列出很多个方程,然后高斯消元即可。将已确定的值放到右边,未确定的放到左边。
只与为什么一定有解,可以感性的理解一下,或者戳这
代码:
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<bitset>
using namespace std;
typedef long long LL; inline int read() {
int x=,f=;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-;
for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=x*+ch-'';return x*f;
} const int N = ;
const double eps = 1e-;
struct Edge { int to, nxt, w; } e[];
double A[N][N], w[N];
int a[N], b[N], c[N], head[N], En;
bool B[N]; inline void add_edge(int u,int v,int w) {
++En; e[En].to = v, e[En].w = w, e[En].nxt = head[u]; head[u] = En;
++En; e[En].to = u, e[En].w = w, e[En].nxt = head[v]; head[v] = En;
}
inline double sqr(double x) { return x * x; }
void Gauss(int n) {
for (int k = ; k <= n; ++k) {
if (!B[k]) k ++;
int r = k;
for (int i = k + ; i <= n; ++i) if (fabs(A[i][k]) > fabs(A[r][k])) r = k;
if (r != k) for (int j = ; j <= n + ; ++j) swap(A[k][j], A[r][j]);
if (fabs(A[k][k]) < eps) continue;
for (int i = k + ; i <= n; ++i) {
if (fabs(A[i][k]) > eps) {
double t = A[i][k] / A[k][k];
for (int j = ; j <= n + ; ++j) A[i][j] -= t * A[k][j];
}
}
}
for (int i = n; i; --i) {
if (!B[i]) continue;
for (int j = i + ; j <= n + ; ++j) A[i][n + ] -= A[i][j] * w[j];
w[i] = A[i][n + ] / A[i][i];
}
}
int main() {
int n = read(), m = read();
for (int i = ; i <= m; ++i) {
int u = read(), v = read(), w = read();
if (u != v) add_edge(u, v, w);
}
for (int i = ; i <= n; ++i) w[i] = read();
for (int i = ; i <= n; ++i) {
if (w[i] < ) {
B[i] = ;
for (int j = head[i]; j; j = e[j].nxt) {
int v = e[j].to;
if (w[v] < ) A[i][v] -= e[j].w;
else A[i][n + ] += 1.0 * w[v] * e[j].w;
A[i][i] += e[j].w;
}
}
}
Gauss(n);
double ans = ;
for (int i = ; i <= n; ++i)
for (int j = head[i]; j; j = e[j].nxt)
if (e[j].to > i) ans += sqr(w[i] - w[e[j].to]) * e[j].w;
printf("%.10lf\n", ans);
return ;
}
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