『Möbius函数与Möbius反演』

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Möbius函数

定义

设正整数$n$算数基本定理分解后为$n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}$，定义函数

\[\mu(n)=
\begin{cases}
0\ \ (\exists\ i\in[1,k],a_i>1)
\\(-1)^k\ \ (\forall\ i\in[1,k],a_i=1)
\end{cases}
\]

称$\mu(n)$为$Möbius$函数。

即分解质因数后，若$n$有多个相同的质因子，则$\mu(n)=0$。当$n$的的质因子各不相同时，若$n$有偶数个质因子，则$\mu(n)=1$，若$n$有奇数个质因子，则$\mu(n)=-1$。

求解

对于单个数字的$Möbius$函数，可以直接用试除法分解质因数求解，时间复杂度为$O(\sqrt n)$。若要求求解$1-n$的所有$Möbius$函数，则可以配合线性筛求解：

$1.$ 对于线性筛找到的一个质数，显然$\mu(n)=-1$

$2.$ 对于线性筛用最小质因子$p_j$筛掉一个合数时，由$Möbius$函数定义的第二部分可得$\mu(i*p_j)=-\mu(i)$

$Code:$

inline void sieve(void)

{

    mui[1] = 1;

    for (int i=2;i<=Uplim;i++)

    {

        if (!vis[i])Prime[++cnt] = i , mui[i] = -1;

        for (int j=1;j<=cnt&&i*Prime[j]<=Uplim;j++)

        {

            vis[ i*Prime[j] ] = true;

            if (i%Prime[j]==0)break;

            mui[ i*Prime[j] ] = -mui[i];

        }

    }

}

性质

$1.$ 对于任意正整数$n$，若$n=1$，则$\sum_{d|n}\mu(d)=1$，若$n>1$，则$\sum_{d|n}\mu(d)=0$。

证明：

当$n=1$时，$\sum_{d|n}\mu(d)=1$显然成立。

当$n>1$时，令$n=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}$，则$n$的因数中$\mu$值不为$0$的必然是由若干个互不相同的质因子相乘得到的，其中质因子个数为$r$的有$C_k^r$个，那么显然有$\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{i=0}^k(-1)^iC_k^i$，此式恰为二项式定理$(a+b)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ia^ib^{n-i}$中代入$a=-1,b=1,n=k$的情况，可知$\sum_{d|n}\mu(d)=(-1+1)^k=0$。

$2.$ 对于任意正整数$n$，有$\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}$。

证明：

因为$n=\sum_{d|n}\phi(d)$，令$F(n)=n,f(n)=\phi(n)$，则由莫比乌斯定理可得$\phi(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)*\frac{n}{d}$，所以可得$\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}$。

$3.$ $Möbius$函数为积性函数，即对于互质正整数$a,b$，有$\mu(a*b)=\mu(a)*\mu(b)$。

证明略。

Möbius反演

Möbius定理

首先，我们需要先了解$Möbius$反演的基础，$Möbius$定理。

$Möbius$定理：

$1.$ 因数形式：若数论函数$F,f$满足$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$，则可以得到$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$。

$2.$ 倍数形式：若数论函数$F,f$满足$F(n)=\sum_{n|d}f(d)$，则可以得到$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$。

证明：

因数形式

\[\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})\\=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{d'|\frac{n}{d}}f(d')=\sum_{d'|n}f(d')\sum_{d|\frac{n}{d'}}\mu(d)
\]

由于$Möbius$的性质$1.$可得$\sum_{d|n}\mu(d)=1$当且仅当$n=1$，所以对于$\sum_{d|\frac{n}{d'}}\mu(d)$非$0$，当且仅当$\frac{n}{d'}=1$，即$n=d'$，所以有

\[\sum_{d'|n}f(d')\sum_{d|\frac{n}{d'}}\mu(d)=f(n)
\]

倍数形式

设$\frac{d}{n}=k$，则可以得到

\[\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)
\\=\sum_{k=1}^{+\infty}\mu(k)F(nk)=\sum_{k=1}^{+\infty}\mu(k)\sum_{nk|t}f(t)
\\=\sum_{n|t}f(t)\sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)
\]

由于$Möbius$的性质$1.$可得$\sum_{d|n}\mu(d)=1$当且仅当$n=1$，所以对于$\sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)$非$0$，当且仅当$\frac{n}{t}=1$，即$n=t$，所以有

\[\sum_{n|t}f(t)\sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)=f(n)
\]

应用

在某些题目中，若有某个函数$f$的值比较难求，但是其自变量倍数或约数的函数值求和$F$函数比较好求，可以先求出函数$F$的值，再利用$Möbius$定理，反演求出原函数的值。

<后记>