【数学建模】day09-聚类分析
0.
多元分析之聚类分析。
聚类分析是一种定量方法,从数据的角度,对样本或指标进行分类,进而进行更好的分析。
分为Q型聚类和R型聚类。
1.
Q型聚类分析是对样本进行分类。有若干样本,我们把这些样本分成几类,每一类中的样本之间是“相似”的。
1)样本的相似性度量
样本之间的距离来描述样本之间的相似性。
常用的有绝对值距离、欧氏距离。使用欧氏距离必须标准化处理,但避免不了变量的多重相关性。
解决:使用马氏距离( Mahalanobis)。
式子中,x、y是来自总体Z两个样本(向量)。∑是Z的协方差矩阵。
2)类与类之间的相似性度量
如何衡量两个类之间的相似度。
常用的有:
最短距离法:两类中最近两点之间的距离。
最长距离法:两类中最远两点之间的距离。
重心法:两类数据重心的距离。
类平均法:两类所有两两点之间距离的平均。
离差平方和法:
3)Q型聚类分析以及实现
假设有w1,w2,w3…w7这些样本点,Q型聚类就是完成下图:
图中,f坐标代表“平台高度”,实际上是距离值。相同平台高度下各自分为两类。
如若分成3类,则在f3高度下,分为{w7},{w6,w5,w4},{w3,w2,w1}三类。
Q型聚类步骤:
- 1 )计算n个样本点两两之间的距离dij ,记为矩阵D = (dij)(n*n);
- 2)首先构造n个类,每一个类中只包含一个样本点,每一类的平台高度均为零
- 3)合并距离近的两类为新类,并且以这两类间的距离值作为聚类图中的平台高 度;
- 4)计算新类与当前各类的距离,若类的个数已经等于 1,转入步骤 5),否则,回 到步骤 3);
- 5)画聚类图;
- 6)决定类的个数和类。
4) MATLAB实现Q型聚类分析
相关MATLAB函数如下,需要查询下面。
5)一个使用例子:
解决:
clc,clear
a = [,;,;,;,;,];
y = pdist(a,'cityblock') %计算绝对值距离
yc = squareform(y);
z = linkage(y) %最短距离法产生聚类树 [h,t] = dendrogram(z) %画聚类图命令
T = cluster(z,'maxclust',) %把对象划分为3类
for i = :
tm = find(T == i);%返回第i类对象
tm = reshape(tm,,length(tm));%编程行向量
fprintf('第%d类对象有%s\n',i,int2str(tm));
end聚类图如下:
产生聚类树的z = linkage(y)得到:
这是一个(m-1)*3的矩阵,m是样例数。
1和2连接,平台高度是1;1和2连接后,新样例做第6点(m+j)。
3和4连接,平台高度是2;做第7点。
6和7连接,平台高度3;做第8点。
5和8连接。
若分成三类,打印结果如下:
3.
R型聚类。
R型聚类是更常用的。影响指标有若干,但这些影响因素(自变量)之间可能有相关性,把比较相关的聚成一类,只选用其中的一个因素来代表该类,从而对问题做出简化。
Q与R的对比:
Q是对样本进行聚类,通过样本之间的距离,结果是把各个样本分堆。
R是要最自变量进行聚类,通过自变量之间的相关系数(这个计算是根据样本计算的),进而对自变量之间的相关性做出分析,相关性大的自变量分在一类,结果是把自变量分堆。
1) 样本之间的距离
采用取Q型相同的方法。
2) 两类之间的距离
r为相关系数。这些操作都是基于相关系数的。
3)具体例子:
计算如下:
clc,clear
a = textread('ch.txt')
d = - abs(a); %相关系数转距离
d = tril(d); %提出d矩阵的下三角部分
b = nonzeros(d);%去掉d的0
b = b';
z = linkage(b,'complete') %最大距离,产生聚类树
y = cluster(z,'maxclust',) %变量分为2类
ind1 = find(y == );
ind1 = ind1'
ind2 = find(y == );
ind2 = ind2'
dendrogram(z) %画聚类图产生聚类图如下:
通过聚类图,可以看出,人体的变量大体可以分为两类:
一类反映人高、矮的变量, 如上体长,手臂长,前腰节高,后腰节高,总体长,身高,下体长;
另一类是反映人体 胖瘦的变量,如胸围,颈围,总肩围,总胸宽,后背宽,腰围,臀围。
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