bzoj1492--斜率优化DP+cdq分治

显然在某一天要么花完所有钱，要么不花钱。

所以首先想到O(n^2)DP：

f[i]=max{f[i-1],(f[j]*r[j]*a[i]+f[j]*b[i])/(a[j]*r[j]+b[j])},j<i

其中f[j]*r[j]/(a[j]*r[j]+b[j])是第j天最多能买多少A券，B类似。

假如我们已经找到了最优的j，那么有f[i]=(f[j]*r[j]*a[i]+f[j]*b[i])/(a[j]*r[j]+b[j])

令x[j]=f[j]*r[j]/(a[j]*r[j]+b[j])，y[j]=f[j]/(a[j]*r[j]+b[j])

那么有f[i]=x[j]*a[i]+y[j]*b[i]

y[j]=(-a[i]/b[i])*x[j]+f[i]/b[i]
这是一条斜率为-a[i]/b[i]的直线。

由于b[i]不变，而我们要最大化f[i]，所以现在我们可以将问题转化为从一些点中选出一个点，使经过这点的已知斜率的直线的截距最大。

但因为斜率和坐标都是无序的，我们用splay维护一个上凸壳，在求f[i]时从上凸壳中选出一个点j，使j点左右两边的斜率刚好将-a[i]/b[i]夹住，那么i就从j转移。

但这题还有更神奇的cdq分治做法。

我们可以想想，为什么斜率和坐标都是无序的呢？因为我们从1~n依次求解。那能否按照斜率排序后一一求解呢？答案是能。

处理区间[l,r]时先将[l,mid]建成一个上凸壳，然后将[mid+1,r]按斜率排序并更新就可以了。

时间复杂度O(n*logn)

代码:

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define N 100001
 #define Eps 1e-9
 #define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
 struct Node{
   double x,y,A,B,r,k;
   int Id;
 }a[N],t[N];
 double f[N];
 int i,j,St[N],Top,n,m;
 inline bool Cmp(Node a,Node b){return a.k<b.k;}
 inline double _Max(double x,double y){return x<y?y:x;}
 inline double Slop(int x,int y){
   if(!y)return -1e20;
   if(fabs(a[x].x-a[y].x)<Eps)return 1e20;
   return (a[x].y-a[y].y)/(a[x].x-a[y].x);
 }
 inline void Solve(int l,int r){
   if(l==r){
     f[l]=_Max(f[l],f[l-]);
     a[l].y=f[l]/(a[l].A*a[l].r+a[l].B);
     a[l].x=a[l].y*a[l].r;
     return;
   }
   int Mid=l+r>>;
   int l1=l,l2=Mid+;
   for(int i=l;i<=r;i++)
     if(a[i].Id<=Mid)t[l1++]=a[i];else t[l2++]=a[i];
   for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=t[i];
   Solve(l,Mid);
   Top=;
   for(int i=l;i<=Mid;i++){
     while(Top>&&Slop(St[Top-],i)+Eps>Slop(St[Top-],St[Top]))Top--;
     St[++Top]=i;
   }
   int j=;
   St[++Top]=;
   for(int i=r;i>Mid;i--){
     while(j<Top&&a[i].k<Slop(St[j],St[j+])+Eps)j++;
     f[a[i].Id]=_Max(f[a[i].Id],a[St[j]].x*a[i].A+a[St[j]].y*a[i].B);
   }
   Solve(Mid+,r);
   l1=l,l2=Mid+;
   for(int i=l;i<=r;i++)
     if(l1>Mid)t[i]=a[l2++];else
       if(l2>r)t[i]=a[l1++];else
     if(a[l1].x<a[l2].x||(fabs(a[l1].x-a[l2].x)<Eps&&a[l1].y<a[l2].y))t[i]=a[l1++];else t[i]=a[l2++];
   for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=t[i];
 }
 int main()
 {
   scanf("%d%lf",&n,&f[]);
   for(i=;i<=n;i++){
     scanf("%lf%lf%lf",&a[i].A,&a[i].B,&a[i].r);
     a[i].Id=i;a[i].k=-a[i].A/a[i].B;
   }
   sort(a+,a+n+,Cmp);
   Solve(,n);
   printf("%.3lf",f[n]);
   return ;
 }

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