CF97C Winning Strategy 构造、图论
题目传送门:http://codeforces.com/problemset/problem/97/C
题意:给出$n$与一个范围在$[0,1]$内的递增序列$P_0-P_n$,试构造一个无穷序列$\{a_i\}$满足$0 \leq a_i \leq n$,使得对于任意$k > 0$满足$a_k \leq \sum\limits_{i=1}^{k-1}(n - 2a_i)$且极限$\lim\limits_{m \rightarrow +\infty} \frac{\sum\limits_{i=1}^mp_{a_i}}{m}$达到最大,给出这个最大值。$N \leq 100$
因为数列无限,所以显然不能够将这个数列表示出来,故考虑构造一个循环节,使这个循环节的平均值最大,然后无限循环这个循环节,就能够得到最大的平均值。所以我们考虑找到一个有限数列使得其平均值最大。
方法一:
考虑转换模型。令$Q=\sum\limits_{i=1}^{k-1}(n - 2a_i)$,对于$a_k$,它会造成$P_{a_k}$的贡献并使得$Q+=n-2a_k=-a_k+(n-a_k)$,也就是待选的范围$Q$减掉了$a_k$,又补上了$n-a_k$。故考虑:最开始我们有一个箱子,其中有$0$个物品,第$i$次从箱子中拿出$a_i$个物品,并补进$n-a_i$个物品,求$\lim\limits_{m \rightarrow +\infty} \frac{\sum\limits_{i=1}^mp_{a_i}}{m}$的最大值。
接下来我们能发现某一个时刻的决策只与其对应的$Q$有关,与时刻无关,所以我们可以将$Q$的取值看成点,决策转换看成边,边权是对应的贡献,构出一个图。可以知道其中对应箱子中物品数量大于$2n$的点显然是没有意义的,因为从其中取出$n$个得到$P_n$的贡献仍然能够覆盖所有的$0-n$的取值。所以我们的点数只有$2n$个($0$点也是没有意义的,因为最优解一定不会出现在$0$号点)。
回到我们需要求的东西,是一个循环节,对应在图中是一个环。所以我们需要找的是图上一个平均边权最大的环。这个显然是可以二分的,check函数将所有边权减掉mid,用spfa判断正环即可。时间复杂度约为$O(N^3)$
#include<bits/stdc++.h> #define R register #define MAXN 100010 #define eps 1e-9 using namespace std; ] , dis[]; short N , K; queue < int > q; struct Edge{ int end , upEd; double w; }Ed[MAXN]; ] , flo[] , cntEd; ]; inline void addEd(int a , int b , double c){ Ed[++cntEd].end = b; Ed[cntEd].w = c; Ed[cntEd].upEd = head[a]; head[a] = cntEd; } inline bool check(double mid){ while(!q.empty()) q.pop(); memset(dis , 0xdd , sizeof(dis)); memset(inq , , sizeof(inq)); memset(flo , , sizeof(flo)); dis[flo[] = ] = ; q.push(); while(!q.empty()){ int t = q.front(); q.pop(); inq[t] = ; for(int i = head[t] ; i ; i = Ed[i].upEd) if(dis[Ed[i].end] < dis[t] + Ed[i].w - mid){ dis[Ed[i].end] = dis[t] + Ed[i].w - mid; flo[Ed[i].end] = flo[t] + ; if(flo[Ed[i].end] > K) ; if(!inq[Ed[i].end]){ inq[Ed[i].end] = ; q.push(Ed[i].end); } } } ; } inline void solve(){ ; i <= K ; i++) ; j <= K ; j++){ int k = i - j; ) == (N & )) addEd(i , j , p[N + i - j >> ]); } , r = ; while(r - l > eps){ ; check(mid) ? l = mid : r = mid; } printf("%.8lf" , l); } int main(){ scanf("%d" , &N); K = N << ; ; i <= N ; ++i) scanf("%lf" , &p[i]); solve(); ; }
方法二:
由我们的图论模型可以得出一个结论:我们只会选一种$n-2a_i>0$的$a_i$和一种$n-2a_i<0$的$a_i$。
证明:
考虑同时选取了$a_j$与$a_k$使得$n-2a_j<0$且$n-2a_k<0$,考虑进行$(n-2a_j)(n-2a_k)$的物品拿出
对于选择$j$有$P_j(n-2a_k)$的贡献,对于选择$k$有$P_k(n-2a_j)$的贡献,我们假设$P_j(n-2a_k)>P_k(n-2a_j)$
那么我们进行无限次之后,假定这个次数为$(n-2a_j)(n-2a_k)$的倍数,这样选择$j$的贡献仍然大于选择$k$的贡献,故选择$j$更好。
大于$0$的情况考虑物品贡献即可。
所以我们可以枚举较小的一个$a_i$和较大的一个$a_j$算出以它们为循环节时的答案,所有的答案取$max$即可,时间复杂度为$O(n^2)$
注意:当$n$为偶数时,$\frac{n}{2}$需要特殊判断。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; ]; int main(){ int N; ; cin >> N; ; i <= N ; i++) cin >> p[i]; ; i <= N - >> ; i++) ) + ; j <= N ; j++) * j - N) + p[j] * (N - * i)) / (- * i + * j) > ans) ans = (p[i] * ( * j - N) + p[j] * (N - * i)) / (- * i + * j); ) == ) ans = max(ans , p[N >> ]); cout << ) << ans; ; }
CF97C Winning Strategy 构造、图论的更多相关文章
- CF97C Winning Strategy
CF97C Winning Strategy 洛咕(题意应该快传上去了) 这题好玄学鸭...都不知道为啥是对的 设\(f[i][j]\)表示打了i轮比赛,有j个参加了一次的人,直接枚举有几个参加了转移 ...
- 题解 CF97C 【Winning Strategy】
题解 CF97C [Winning Strategy] 此题是某平台%你赛原题,跟大家分享一下某校zsy和sxr等同学的神仙做法. 我解释一下题意,大是说,我有[无限]个人,每个人可以对他" ...
- CCO2017 Vera and Trail Building 构造+图论
正解:构造+图论 解题报告: 找了半天才找到的传送门! 先简要表达下题意 一个图上,如果存在(a,b)满足a<b且存在从a到b再回到a的路径,每条道路被经过至多一次,我们称(a,b)为完美点对试 ...
- Johnny Solving CodeForces - 1103C (构造,图论)
大意: 无向图, 无重边自环, 每个点度数>=3, 要求完成下面任意一个任务 找一条结点数不少于n/k的简单路径 找k个简单环, 每个环结点数小于n/k, 且不为3的倍数, 且每个环有一个特殊点 ...
- mark一下咕掉的题目
蒟蒻才普及组呀~ 大佬别D我 等集中补一下 CF980F:咋说捏,我觉得要联赛了做这题有点浪费时间,等想颓废了再来写写叭qwq 215E/279D/288E/331C3/431D/433E/750G/ ...
- 【POJ1568】【极大极小搜索+alpha-beta剪枝】Find the Winning Move
Description 4x4 tic-tac-toe is played on a board with four rows (numbered 0 to 3 from top to bottom) ...
- poj1568 Find the Winning Move[极大极小搜索+alpha-beta剪枝]
Find the Winning Move Time Limit: 3000MS Memory Limit: 32768K Total Submissions: 1286 Accepted: ...
- Codeforces Round #360 (Div. 2) D. Remainders Game 中国剩余定理
题目链接: 题目 D. Remainders Game time limit per test 1 second memory limit per test 256 megabytes 问题描述 To ...
- poj 2068 Nim(博弈树)
Nim Time Limit: 1000MS Memory Limit: 30000K Total Submissions: 1501 Accepted: 845 Description Le ...
随机推荐
- VUE CLI 3.0 项目引入 Mock.js
mockjs 官网:http://mockjs.com/ 之前没有使用过 mockjs 的同学,请参考官网文档,数据生成规则和方法的调用都有详细说明. 一.通过npm安装依赖包 1. 进入到项目目录, ...
- python联系题1
一.有四个数字:1.2.3.4,能组成多少个互不相同且无重复数字的三位数?各是多少? 程序分析:可填在百位.十位.个位的数字都是1.2.3.4.组成所有的排列后再去 掉不满足条件的排列. # _*_ ...
- selenium 之百度搜索,结果列表翻页查询
selenium之百度搜索,结果列表翻页查询 by:授客 QQ:1033553122 实例:百度搜索,结果列表翻页查询 解决问题:解决selenium driver获取web页面元素时,元素过期问题 ...
- PL/SQL 查询的数据出现乱码
解决方法: 1.首先在查询出Oracle数据库的字符集. select userenv('language') from dual; 2.新建系统变量 NLS_LANG,变量值为第一步查询出来的字符集 ...
- Spring 事件
JDK事件 java通过java.util.EventObject类和java.util.EventListener接口描述事件和监听器 事件源,事件的产生者,任何一个EventObject都必须拥有 ...
- 如何打jar包
一.制作只含有字节码文件的jar包1.最简单的jar包——直接输出hello2.含有两个类的jar包——通过调用输出hello3.有目录结构的jar包——通过引包并调用输出hello 二.制作含有ja ...
- 平板电脑安装Ubuntu教程
平板电脑安装Ubuntu教程-以V975w为例,Z3735系列CPU通用 最近尝试在昂达V975w平板电脑和intel stick中安装ubuntu,经过分析,发现存在一个非常大的坑.但因为这个坑,此 ...
- Python基础点
写这篇的目的并不是要把python的基础知识汇总一遍,而是着重记录一些实际编写代码时遇到的常用/重要的内容 以点的形式记录,之后遇到的内容会慢慢补充进来 1. 斜杠 / :斜字第一笔, 转义用反斜杠 ...
- [20171227]表的FULL_HASH_VALUE值的计算.txt
[20171227]表的FULL_HASH_VALUE值的计算.txt --//sql_id的计算是使用MD5算法进行哈希,生成一个128位的Hash Value,其中低32位作为HASH VALUE ...
- MySQL8.0——Resource Group(资源组)
资源组介绍 简介 MySQL是单进程多线程的程序,MySQL线程包括后台线程(Master Thread.IO Thread.Purge Thread等),以及用户线程.在8.0之前,所有线程的优先级 ...