Usaco 2019 Jan Platinum

  要不是昨天老师给我们考了这套题,我都不知道usaco还有铂金这么一级。

  插播一则新闻:杨神坚持认为铂金比黄金简单,原因竟是:铜 汞 银 铂 金(金属活动性顺序表)

  Usaco真是慢的不行,所以就贴洛谷链接啦。

  

  Redistricting: https://www.luogu.org/problemnew/show/P5202

  题意概述:给出一个长度为N的序列,由'H'和'G'组成,将它分为任意段,每段的长度不超过 $K$ ,要求最小化(H比较少的段)的数量。$k<=n<=3 \times 10^5$

  首先可以将原序列中的G视为一,做一遍前缀和,那么就有了一个 $O(NK)$ 的朴素dp:

  $dp_i=min \{dp_j+[(s_i-s_j) \times 2 <=(i-j)]\space |\space i-j<=k \}$

  还需要一些优化,首先发现里面那个式子可以拆开,定义一个新的数组 $g_i=i-2 \times s_i$,这样只要满足 $g_i>g_j$ 就可以无代价转移,否则代价为一。所以一开始想到的是用权值线段树维护,但这样删除的时候可能会有一点麻烦,所以在线段树的叶子节点还得用单调队列维护,感觉写不动就弃了。后来又想到可以用平衡树来做,但是好像删除也有点问题,所以也弃了。这时我突然发现这道题很特殊,代价最多为1,所以可以用一个简单的单调队列来做。

  要用单调队列首先得明确一点,就是按照哪一维来弹出点。如果按照 $g$ 数组来做...很显然是不可以的。但是按照 $dp$ 数组来做,相同时再按照 $g$ 就是正确的了。解释一下原因吧:假设有两个决策点 $a$ $b$,如果 $dp[a]<dp[b]$,那么无论如何都可以从 $a$ 转移,因为 $dp$ 值都是整数,那么两个不相等的数之间至少差一,所以从 $a$ 转移不会比从 $b$ 转移更差;如果两个决策点的 $dp$ 值相等,则优先选择那个比较难产生代价的决策,正确性显然。复杂度 $O(N)$ 官方题解给的是 $O(NlogN)$ 的做法,在我的电脑上不开 $O_2$ 会 $T$,所以就不搬过来了。

  

# include <cstdio>
# include <iostream>
# include <cstring>
# define nl (n<<)
# define nr (n<<|)
# define R register int using namespace std; const int maxn=;
const int inf=;
int n,k,a[maxn],f[maxn],g[maxn],q[maxn],H=,T;
char s[maxn]; void add (int x)
{
while(H<=T&&((f[x]<f[ q[T] ])||(f[x]==f[ q[T] ]&&g[x]<=g[ q[T] ]))) T--;
q[++T]=x;
} void del (int x) { while (H<=T&&q[H]<=x) H++; } int ask (int x)
{
if(g[ q[H] ]<g[x]) return f[ q[H] ];
return f[ q[H] ]+;
} int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
scanf("%s",s+);
for (R i=;i<=n;++i)
{
if(s[i]=='G') a[i]=a[i-]+;
else a[i]=a[i-];
g[i]=i-*a[i];
}
f[]=;
for (R i=;i<=n;++i)
{
add(i-);
if(i-k->=)
del(i-k-);
f[i]=ask(i);
}
printf("%d",f[n]);
return ;
}

My Code

  exercise:https://www.luogu.org/problemnew/show/P5203

  题意概述:首先给出一棵树,再给出一些连接树上两点的边,求有多少个环恰好经过两条非树边。$n,m<=10^5$

  考试的时候打了暴力,结果只有样例分...网上关于这场比赛的中文题解好像很少,所以我就翻译一下官方题解好了(有的地方会省掉一些话,但是意思应该是不变的.): And,官方题解为什么每句话都要加个"我们"?

  首先想一想哪些 "非树边" 对可以构成合法答案。我们定义一条非树边的 "路径" 为它连接的两点在树上的路径。如果两条非树边的 "路径" 有边相交(有一样的边),那么这就是一组合法的答案。

  现在我们有了一个新的问题:如何判断有边相交的树上路径对数?首先我们认为这棵树是任意生根的(这句话只是为了翻出来好玩,其实意思就是无根树)。一条路径可能会有拐点,所以统计起来比较麻烦。那么将它拆成两条路径,一条是从A到LCA的,一条是从LCA到B的,再统计相交的路径会不会好做一点呢?如果用这种统计法,可能会有的路径对被重复计算,然而,重复计算的答案可以很容易地算出来。当且仅当两条路径的LCA相同,而且端点连接到LCA的方式相同(对应端点属于LCA的同一棵子树)时,这个答案才会被统计两次,所以我们可以先计算出这样路径对的数量,最后再从答案中减去即可。这样以来,我们就可以忽视重复计算的影响,转而解决一种非常简单的路径问题。

  我们的问题现在被简化了。我们有一些从某个节点到它的某个祖先的路径,而且我们希望求出边相交的路径对数。考虑一个类似但更简单的问题:给出一些开区间(A,B),求有多少个区间相交?对于每个区间分别求出起点在它的范围内的区间数目,加起来就是答案(注意,如果两个区间具有相同的端点,答案可能会少一,所以要特殊处理),对于树上的路径,其实也没有什么差别,预处理一遍,做一个树上差分就可以了。当然,还是要注意有相同端点的那些路径。

  题解程序的实现中有一些小trick,就是对于每条路径,认为它的起点是路径上深度次小的那个点,这样就巧妙的避免了,两条路径仅在端点处重合的问题。

  

 # include <cstdio>
# include <iostream>
# include <map>
# define R register int
# define ll long long using namespace std; const int maxn=;
int firs[maxn],h=,n,m,x[maxn],y[maxn],l[maxn],a,b,dep[maxn],f[maxn][];
struct edge { int too,nex; }g[maxn<<];
map <ll,int> M;
ll ans,d[maxn]; int read()
{
R x=;
char c=getchar();
while (!isdigit(c)) c=getchar();
while (isdigit(c)) x=(x<<)+(x<<)+(c^),c=getchar();
return x;
} void dfs (int x)
{
int j;
for (R i=firs[x];i;i=g[i].nex)
{
j=g[i].too;
if(dep[j]) continue;
f[j][]=x;
for (R k=;k<=;++k) f[j][k]=f[ f[j][k-] ][k-];
dep[j]=dep[x]+;
dfs(j);
}
} int lca (int x,int y)
{
if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
for (R i=;i>=;--i) if(dep[y]-(<<i)>=dep[x]) y=f[y][i];
if(x==y) return x;
for (R i=;i>=;--i) if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
return f[x][];
} int lcas (int x,int y)
{
if(x==y) return -;
for (R i=;i>=;--i) if(dep[x]-(<<i)>dep[y]) x=f[x][i];
return x;
} void pushdown (int x)
{
int j;
for (R i=firs[x];i;i=g[i].nex)
{
j=g[i].too;
if(dep[j]<dep[x]) continue;
d[j]+=d[x];
pushdown(j);
}
} void add (int x,int y)
{
g[++h].nex=firs[x];
g[h].too=y;
firs[x]=h;
} int main()
{
n=read(),m=read();
m-=(n-);
for (R i=;i<n;++i)
{
a=read(),b=read();
add(a,b),add(b,a);
}
dep[]=;
dfs();
for (R i=;i<=m;++i)
{
x[i]=read(),y[i]=read();
l[i]=lca(x[i],y[i]);
a=lcas(x[i],l[i]);
b=lcas(y[i],l[i]);
if(a>b) swap(a,b);
if(a!=-) d[a]++,ans-=d[a];
if(b!=-) d[b]++,ans-=d[b];
if(a!=-&&b!=-)
{
ans-=M[ a*n+b ];
M[ a*n+b ]++;
}
}
pushdown();
for (R i=;i<=m;++i)
ans+=d[ x[i] ]+d[ y[i] ]-*d[ l[i] ];
printf("%lld",ans);
return ;
}

My Code

  tracking2:https://www.luogu.org/problemnew/show/P5204

  题意概述:给出对于长度为n的序列,窗口大小为k的滑动窗口最小值,求有多少原序列满足要求.额外要求:原序列中的数不能大于1e9.$k<=n<=10^5$

  这题好毒瘤...考场写了一个假装 $k<=10$ 的状压dp,只有样例分。那么下面是翻译的英文题解。(这次写题解的人稍微少用了一些“我们”):

  首先,介绍一种记数法。给出一个序列 $a_1, a_2, \ldots a_n$ (小$n$,而不是整个序列的长度$N$), 也就是滑动窗口的最小值:

  $\{\min(a_1, a_2, \ldots , a_K), \min(a_2, a_3, \ldots , a_{K+1}), \ldots \min(a_{n - K + 1}, a_{n - K + 2}, \ldots , a_n) \}$

  当看到一个接近这样的问题时,想想它的简化版本往往是很有帮助的。我们现在来看这样一个问题:有多少序列的滑动窗口最小值是这样的?

  $\underbrace{v, v, \ldots, v}_{N - K + 1 \text{ times }}?$

​   定义 $MX = 10^9$ , $x=MX−v$ . 定义 $dp[u]$ 为长度为 $u$ 的序列满足滑动窗口最小值全是 $v$,而且以 $v$ 结尾。下面通过枚举最右端的那个 $v$ 来计算答案,我们就得到了如下方程:

  $DP[v] = DP[v-1] + xDP[v-2] + \ldots + x^{K - 1}DP[v - K]$

  在这里 $x$ 表示严格大于 $v$ 的数的数目.这样就有了一个复杂度为 $O(NK)$ 的解法, 不过我们还可以做得更好,像这样:

  $DP[v+1] = DP[v] + x(DP[v] - x^{K - 1}DP[v - K])$

  这样就是 $O(N)$ 了。定义 $c(len,v)$ 为长度为 $len$ ,滑动窗口最小值全为 $v$ 且以 $v$ 结尾的序列个数.

  现在我们已经解决了这个简单的问题。再从整体上看一看原来的这个问题。假设滑动窗口中两个相邻的数不相同,而且不失一般性地假设左边比右边大,也就是说:

  $a = \min(a_i, a_{i + 1}, \ldots , a_{i + K - 1}) > \min(a_{i+1}, a_{i+2}, \ldots , a_{i + K}) = b$

  因为 $a = \min(a_i, a_{i + 1}, \ldots , a_{i + K - 1}) \le \min(a_{i + 1}, a_{i + 2}, \ldots , a_{i + K - 1})$ 所以说 $a_{i+K}=b$ .

  这就表明,如果两个滑动窗口的值是不同的,我们就可以直接知道某些值。这样就引出了一种新的表示法:将滑动窗口表示为一些数对 (值,连续出现次数),举个例子:

  $(5, 3, 3, 3, 3, 2) \mapsto ((5, 1), (3, 4), (2, 1))$.

  下一步可能最好还是结合一个例子来解释。假设 $K=2$, 滑动窗口的值为 $(2,2,2,3,3,3,1,1)$ . 根据刚刚的推断,序列就可以被表示为这样的形式:$(a,b,2,c,d,e,f,1,g)$ . 现在 $c,d,e,f$ 的滑动窗口最小值就是(3,3,3), $a,b$ 的滑动窗口最小值就是(2,2), $g$的滑动窗口最小值就是(1)。因此问题就可以转化为最早的那个形式,相当于求$c(3,4)×c(2,2)×c(1,1)$.

  还有两个小问题:一个是结尾,一个是...这句我真的翻译不出来了,直接粘过来:“ranges which are surrounded by two larger ranges are a bit subtle”;

  最后是我自己的理解了:如果不合并,有的段就会被算多次,但是采用一些巧妙的方法,不压缩应该也是可以的。

  我翻的很像机翻吗?其实我写的中文题解有时候看起来也像机翻。

  

 # include <cstdio>
# include <cstring>
# include <iostream>
# define R register int
# define ll long long
using namespace std; const int maxn=;
const ll mod=;
const int mx=;
int dp[maxn],a[maxn],n,k;
int sub (int a,int b) { a-=b; a=(a%mod+mod)%mod; return a; }
int mul (int a,int b) { a=1LL*a*b%mod; return a; } int qui (int a,int b)
{
int s=;
while(b)
{
if(b&) s=mul(s,a)%mod;
a=mul(a,a)%mod;
b>>=;
}
return s;
} int c (int v,int len)
{
dp[]=dp[]=;
int x=mx-v;
int p=qui(x,k);
for (R i=;i<=len;++i)
{
dp[i]=mul(x+,dp[i-]);
if(i-k-<) continue;
dp[i]=sub(dp[i],mul(p,dp[i-k-]));
}
return dp[len];
} int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for (R i=;i<=n-k+;++i)
scanf("%d",&a[i]);
int l=,r,ans=,len;
while(l<=n-k+)
{
r=l;
while(a[r+]==a[l]) r++;
len=r-l+k;
if(l!=&&a[l-]>a[l]) len-=k;
if(r!=n-k+&&a[r+]>a[r]) len-=k;
if(len>=) ans=mul(ans,c(a[l],len+));
l=r+;
}
printf("%d",ans);
return ;
}

My Code

  求解C那里,我给len加了一个一,这是为什么呢...因为刚刚的定义是:$c(len,v)$ 为长度为 $len$ ,滑动窗口最小值全为 $v$ 且以 $v$ 结尾的序列个数,但是实际应用中,最后一个数并不需要是 $v$,所以多算一位,再把最后一位截去即可。

  终于全都补完了!这套题的实现难度不是很大,但是思路却很巧妙。

  老师也发了一份题解,但是那个做法看起来比较难写,可能大概好懂一点?反正我没懂。一并放上来,如果有人能看懂也是件好事。相同段的处理是一样的,但是套一层rmq我就不懂是什么操作了。

  

  那么下一场再见啦!虽然我大概率不打下一场

---shzr

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