CF1280E Kirchhoff's Current Loss

题意

做法

考虑一个子电路图\(G\)，设得到有效电阻为\(x\)，费用为\(f_G(x)\)，通过归纳易得\(f_G(x)\)是关于\(x\)的一个一次函数，即\(f_G(x)=k_Gx\)

考虑电路图\(G\)的若干个子电路图\(G_1,G_2,...,G_n\)

• 串联：设子电路图的系数分别为\(k_{G_1}\le k_{G_2}\le ...\le k_{G_n}\)，之间把\(x\)传到\(G_1\)就行了
  故\(k_G=k_{G_1}\)
• 并联：有\(\frac{1}{x}=\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_i}\)
  我们用柯西不等式来求\(k_G\)：
  \(f_G(x)=x(\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_i} )(\sum\limits_{i=1}^n k_{G_i}x_i)\ge x(\sum\limits_{i=1}^n \sqrt \frac{1}{x_i}\sqrt {k_{G_i}x_i})^2=x(\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {k_{G_i}})^2\)
  故\(k_{G_i}=(\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {k_{G_i}})^2\)
  根据柯西不等式，取等号的充要条件是：存在\(\lambda\in\mathbb{R},\sqrt {k_{G_i}x_i}=\frac{\lambda}{\sqrt{x_i}}\)
  为了递推到\(x_i\)，我们需要不用到\(x_i\)得到\(\lambda\)：
  \(\frac{1}{x_i}=\frac{\sqrt{k_{G_i}}}{\lambda},\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_i}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n \sqrt{k_{G_i}}}{\lambda},x\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_i}=x\frac{\sum\limits_{i=1}^n \sqrt{k_{G_i}}}{\lambda},1=x\frac{\sum\limits_{i=1}^n \sqrt{k_{G_i}}}{\lambda}\)
  故\(\lambda=x\sum\limits_{i=1}^n \sqrt{k_{G_i}}\)

当然目前为止我们都是用实数递推的，但递推底层（单电阻）为\(k=1\)，根据归纳容易推得上述根号下的开完根号都为整数
所以不需要考虑实数