FFT 入门
推荐博客 :https://oi.men.ci/fft-notes/
卷积的理解 : https://www.zhihu.com/question/22298352?rf=21686447
题目链接 :http://uoj.ac/problem/34
这是一道模板题。
给你两个多项式,请输出乘起来后的多项式。
输入格式
第一行两个整数 nn 和 mm,分别表示两个多项式的次数。
第二行 n+1n+1 个整数,表示第一个多项式的 00 到 nn 次项系数。
第三行 m+1m+1 个整数,表示第二个多项式的 00 到 mm 次项系数。
输出格式
一行 n+m+1n+m+1 个整数,表示乘起来后的多项式的 00 到 n+mn+m 次项系数。
样例一
input
1 2
1 2
1 2 1
output
1 4 5 2
explanation
(1+2x)?(1+2x+x2)=1+4x+5x2+2x3(1+2x)?(1+2x+x2)=1+4x+5x2+2x3。
限制与约定
0≤n,m≤105,保证输入中的系数大于等于 0 且小于等于 9。
时间限制:1s1s
空间限制:256MB
题意 : 给你两个多项式的系数,从 0 到 n 给出,求这两个多项式相乘后的系数,从小到大输出
思路分析 : 裸的 FFT ,参考kuangbin 的板子
就是要注意以下数组的大小,main中的 len 是 2^k , 因此当m+n = 2e5 左右时,此时 2^k = 260000+ , 因此要注意数组的大小
代码示例:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn = 2e5+63000;
const double pi = acos(-1.0);
int n, m;
struct Complex{
double x, y;
Complex (double _x=0, double _y=0):x(_x), y(_y){}
Complex operator -(const Complex &b)const{
return Complex(x-b.x, y-b.y);
}
Complex operator +(const Complex &b)const{
return Complex(x+b.x, y+b.y);
}
Complex operator *(const Complex &b)const{
return Complex(x*b.x-y*b.y, x*b.y+y*b.x);
}
}; Complex x1[maxn], x2[maxn];
int sum[maxn];
void change(Complex y[], int len){
for(int i = 1, j = len/2; i < len-1; i++){
if (i < j) swap(y[i], y[j]);
int k = len/2;
while(j >= k){
j -= k;
k /= 2;
}
if (j < k) j += k;
}
} void fft(Complex y[], int len, int on){
change(y, len);
for(int h = 2; h <= len; h <<= 1){
Complex wn(cos(-on*2*pi/h), sin(-on*2*pi/h));
for(int j = 0; j < len; j += h){
Complex w(1, 0);
for(int k = j; k < j+h/2; k++){
Complex u = y[k];
Complex t = w*y[k+h/2];
y[k] = u+t;
y[k+h/2] = u-t;
w = w*wn;
}
}
}
if (on == -1){
for(int i = 0; i < len; i++)
y[i].x /= len;
}
} int main () {
cin >> n >> m;
int len = 1;
while(len <= (n+m)) len <<= 1;
for(int i = 0; i <= n; i++) scanf("%lf", &x1[i].x);
fft(x1, len, 1);
for(int i = 0; i <= m; i++) scanf("%lf", &x2[i].x);
fft(x2, len, 1);
for(int i = 0; i < len; i++)
x1[i] = x1[i]*x2[i];
fft(x1, len, -1);
for(int i = 0; i <= n+m; i++){
sum[i] = (int)(x1[i].x+0.5); // sum[] 是最后的答案
printf("%d%c", sum[i], i ==n+m?'\n':' ');
}
return 0;
}
____________________________________________________________________________
int rev[maxl];
void get_rev(int bit)//bit表示二进制位数,计算一个数在二进制翻转之后形成的新数
{
for(int i=0;i<(1<<bit);i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
}
void fft(cd *a,int n,int dft)//n表示我的多项式位数
{
for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
//中间的那个if保证了每个数做多只被交换了1次
//如果不写那么会有一些数被交换两次,导致最终的位置没有变
for(int step=1;step<n;step<<=1)//模拟一个合并的过程
{
cd wn=exp(cd(0,dft*PI/step));//计算当前单位复根
for(int j=0;j<n;j+=step<<1)
{
cd wnk(1,0);//计算当前单位复根
for(int k=j;k<j+step;k++)
{//蝴蝶操作
cd x=a[k];
cd y=wnk*a[k+step];
a[k]=x+y;//这就是上文中F(x)=G(x)+ωH(x)的体现
a[k+step]=x-y;
//后半个“step”中的ω一定和“前半个”中的成相反数
//“红圈”上的点转一整圈“转回来”,转半圈正好转成相反数
//一个数相反数的平方与这个数自身的平方相等..
wnk*=wn;
}
}
}
if(dft==-1) for(int i=0;i<n;i++) a[i]/=n;
//考虑到如果是IDFT操作,整个矩阵中的内容还要乘上1/n
}
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