Hdu 1729 Nim博弈

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之前没做过这题，因为学弟问到我如果来求该题的sg值，才做了这题。

首先， 是多堆Nim博弈毫无疑问，这题是往一个有固定容量的箱子里放石子，和从一堆石子里面拿出石子是一个道理。

和传统的Nim稍有不同的地方是：The number mustn’t be great than the square of the number of stones before the player adds the stones.

也就是说，往箱子里放石子的数量应该在1... c^2，当然也应该使放完石子之后箱子里总的石子个数小于S（箱子的容量）。这里，很自然的会想到比较c^2和s-c的大小，s-c是箱子此时剩余的容量，而c^2是可以放的最大的容量(前提是c^2 <= s-c).

所以，如果 c^2 >= s-c ,也就是说此时可以往箱子里放 1...s-c个石子，也就是一个单堆的Nim博弈，所以sg(x) = x。

但是如果 c^2 < s-c， 那么只需要找一个临界的情况，就是 t^2 < s - t 而且 (t+1)^2 >= s - (t+1).这里t是指箱子里当前石子的个数，这里的t是距离终态s最近的一个必败点，终态为s，是因为如果箱子里已经有了s个石子，那么就不可以再往箱子里放石子，所以这个状态是必败态，即sg(s) = 0. 那为什么t状态是必败点呢？ 因为从 t+1, t+2, t+3...s-1都可以直接转移到s态，理由就是 (t+1)^2 >= s - (t+1). （能转移到必败点的状态都是必胜态）。所以t状态是距离终态s最近的必败点，也就是说sg(t) = 0。如果， c = t，那么直接返回0， 如果 c > t，那么直接返回sg值，sg(c) = s - c. （因为 sg(s)=0, sg(s-1) = s-1....别忘了单堆Nim的sg(x) = x)。而如果 c < t，那么只需要递归来求sg(c)。道理和上面一样。

附上代码：

 /*************************************************************************
     > File Name: 1729.cpp
     > Author: Stomach_ache
     > Mail: sudaweitong@gmail.com
     > Created Time: 2014年04月25日 星期五 11时25分34秒
     > Propose:
  ************************************************************************/

 #include <cmath>
 #include <string>
 #include <cstdio>
 #include <fstream>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 typedef long long LL;

 LL
 get_sg(int s, int c) {
         int t = int(sqrt(s+0.0));
         while (t*t+t >= s)
                 t--;
         // t+1, t+2 ... s-1 都是必胜态，因为s是必败态，而他们都可以转移到s
         if (c > t) return s - c;
         if (c == t) return ;
         return get_sg(t, c);
 }

 int
 main(void) {
         int n, cnt = ;
         while (~scanf("%d", &n) && n) {
                 LL ans = ;
                 for (int i = ; i < n; i++) {
                         int s, c;
                         scanf("%d %d", &s, &c);
                         if (c == ) continue;
                         if ((LL)c * c >= s - c) {
                                 ans ^= (s - c);
                         } else {
                                 ans ^= get_sg(s, c);
                         }
                 }

                 printf("Case %d:\n", cnt++);
                 if (ans) {
                         puts("Yes");
                 } else {
                         puts("No");
                 }
         }

         return ;
 }