序列变换 HDU

序列变换 HDU - 5256

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题目

我们有一个数列A1,A2...An，你现在要求修改数量最少的元素，使得这个数列严格递增。其中无论是修改前还是修改后，每个元素都必须是整数。

请输出最少需要修改多少个元素。

input

第一行输入一个T(1≤T≤10)，表示有多少组数据

每一组数据：

第一行输入一个N(1≤N≤105)，表示数列的长度

第二行输入N个数A1,A2,...,An。

每一个数列中的元素都是正整数而且不超过106。

output

对于每组数据，先输出一行

Case #i:

然后输出最少需要修改多少个元素。

Sample Input

Sample Output

Case #1:

0

Case #2:

1

分析

一开始很容易就想到 $\mathrm{LIS}$ 。先算出 $\mathrm{LIS}$ 的长度，然后序列总长度减去 $\mathrm{LIS}$ 的长度就行了。

但是隐隐间觉得有点不对，留意到题目中的严格递增，就想到了如果连续几个都是相同的怎么办。然后就举出了反例。

例如：1 2 2 2 3 。这个序列的 $\mathrm{LIS}$ 为 1 2 3。按照上面的的方法算出的答案是 2 。但实际上，我们要修改成 1 2 3 4 5。要修改的个数为 3。

但我们还是想要往 $\mathrm{LIS}$ 上靠，仔细分析一下，我们修改后的整个数组要满足如下的条件：

\[arr[i + 1] \ge arr[i] + 1
\]

怎么往 $\mathrm{LIS}$ 上靠呢？$\mathrm{LIS}$ 最后的式子是不是要满足：

\[a[i + 1] \ge a[i]
\]

第一个式子中的 $1$ 是不是有点碍事，留意到两边其实可以做一个操作：

\[arr[i + 1] - i - 1 \ge arr[i] - i
\]

两边都可以减去一个 $i$ , 那么就可以转化到 $\mathrm{LIS}$ 的做法了。

再留意到 $n \le 10^5，T \le 10$ ， $O(n^2)$ 的复杂度肯定是接受不了，要对朴素的做法进行一些优化。

其实也是一个贪心的做法。我们可以去维护这样一个 $dp$ 数组。不妨设 $len$ 为 $dp$ 数组的长度。在遍历数组 $arr$ 的时候，有两种情况：

$arr[i] \ge dp[len - 1]$，把 $arr[i]$ 加到 $dp$ 数组的结尾。
$arr[i] < dp[len - 1]$，二分查找 $dp$ 数组里，第一个大于 $arr[i]$ 数字，然后替换成 $arr[i]$。

然后，最后 $len$ 就是 $\mathrm{LIS}$ 的长度。

看得出来，数组 $dp$ 本身就在维护一个尽可能长的上升序列，第一个操作很好理解，那么对于第二个操作，由贪心我们可以知道，如果有几个序列，那么序列末尾的数字越小，那么它能成为 $\mathrm{LIS}$ 的概率越大？所以第二个操作就是不断地在保证它在成为 $\mathrm{LIS}$。如果但是如果替换的不是最后一个呢？由于是替换，不是增加或者减小，所以这对于最后的结果并没有影响，所以替换前面的数字并没有影响。（这造成了 $dp$ 数组并不是 $\mathrm{LIS}$ )。

所以用二分就能把 $\mathrm{LIS}$ 优化到 $O(n \log n)$。

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define lowbit(x) ((x)&(-x))

#define mem(i, a) memset(i, a, sizeof(i))

#define sqr(x) ((x)*(x))

typedef long long ll;

const double eps = 1e-8;

const double pi = acos(-1.0);

const int inf = 0x3f3f3f3f;

const int maxn = 1e5 + 7;

using namespace std;

int arr[maxn], dp[maxn];

int main(void){

#ifdef ljxtt

freopen("data.in", "r", stdin);

#endif

    int T; scanf("%d", &T);

    int cases = 1;

    while(T--){

        int n; scanf("%d", &n);

        for(int i = 0; i < n; i++){

            scanf("%d", &arr[i]);

            arr[i] -= i;

        }

        int len = 0;

        dp[0] = arr[0];

        for(int i = 1; i < n; i++){

            if(arr[i] >= dp[len])

                dp[++len] = arr[i];

            else

                *upper_bound(dp, dp + len + 1, arr[i]) = arr[i];

        }

        printf("Case #%d:\n%d\n", cases++, n - len - 1);

    }

    return 0;

}