序列变换 HDU - 5256
序列变换 HDU - 5256
题目
我们有一个数列A1,A2...An,你现在要求修改数量最少的元素,使得这个数列严格递增。其中无论是修改前还是修改后,每个元素都必须是整数。
请输出最少需要修改多少个元素。
input
第一行输入一个T(1≤T≤10),表示有多少组数据
每一组数据:
第一行输入一个N(1≤N≤105),表示数列的长度
第二行输入N个数A1,A2,...,An。
每一个数列中的元素都是正整数而且不超过106。
output
对于每组数据,先输出一行
Case #i:
然后输出最少需要修改多少个元素。
Sample Input
2
2
1 10
3
2 5 4
Sample Output
Case #1:
0
Case #2:
1
分析
一开始很容易就想到 \(\mathrm{LIS}\) 。先算出 \(\mathrm{LIS}\) 的长度,然后序列总长度减去 \(\mathrm{LIS}\) 的长度就行了。
但是隐隐间觉得有点不对,留意到题目中的严格递增,就想到了如果连续几个都是相同的怎么办。然后就举出了反例。
例如:1 2 2 2 3 。这个序列的 \(\mathrm{LIS}\) 为 1 2 3。按照上面的的方法算出的答案是 2 。但实际上,我们要修改成 1 2 3 4 5。要修改的个数为 3。
但我们还是想要往 \(\mathrm{LIS}\) 上靠,仔细分析一下,我们修改后的整个数组要满足如下的条件:
\]
怎么往 \(\mathrm{LIS}\) 上靠呢?\(\mathrm{LIS}\) 最后的式子是不是要满足:
\]
第一个式子中的 \(1\) 是不是有点碍事,留意到两边其实可以做一个操作:
\]
两边都可以减去一个 \(i\) , 那么就可以转化到 \(\mathrm{LIS}\) 的做法了。
再留意到 \(n \le 10^5,T \le 10\) , \(O(n^2)\) 的复杂度肯定是接受不了,要对朴素的做法进行一些优化。
其实也是一个贪心的做法。我们可以去维护这样一个 \(dp\) 数组。不妨设 \(len\) 为 \(dp\) 数组的长度。在遍历数组 \(arr\) 的时候,有两种情况:
- \(arr[i] \ge dp[len - 1]\),把 \(arr[i]\) 加到 \(dp\) 数组的结尾。
- \(arr[i] < dp[len - 1]\),二分查找 \(dp\) 数组里,第一个大于 \(arr[i]\) 数字,然后替换成 \(arr[i]\)。
然后,最后 \(len\) 就是 \(\mathrm{LIS}\) 的长度。
看得出来,数组 \(dp\) 本身就在维护一个尽可能长的上升序列,第一个操作很好理解,那么对于第二个操作,由贪心我们可以知道,如果有几个序列,那么序列末尾的数字越小,那么它能成为 \(\mathrm{LIS}\) 的概率越大?所以第二个操作就是不断地在保证它在成为 \(\mathrm{LIS}\)。如果但是如果替换的不是最后一个呢?由于是替换,不是增加或者减小,所以这对于最后的结果并没有影响,所以替换前面的数字并没有影响。(这造成了 \(dp\) 数组并不是 \(\mathrm{LIS}\) )。
所以用二分就能把 \(\mathrm{LIS}\) 优化到 \(O(n \log n)\)。
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
#define mem(i, a) memset(i, a, sizeof(i))
#define sqr(x) ((x)*(x))
typedef long long ll;
const double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1.0);
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e5 + 7;
using namespace std;
int arr[maxn], dp[maxn];
int main(void){
#ifdef ljxtt
freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
int T; scanf("%d", &T);
int cases = 1;
while(T--){
int n; scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i++){
scanf("%d", &arr[i]);
arr[i] -= i;
}
int len = 0;
dp[0] = arr[0];
for(int i = 1; i < n; i++){
if(arr[i] >= dp[len])
dp[++len] = arr[i];
else
*upper_bound(dp, dp + len + 1, arr[i]) = arr[i];
}
printf("Case #%d:\n%d\n", cases++, n - len - 1);
}
return 0;
}
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