【t084】数列

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【问题描述】

一个数列定义如下：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7。给定A,B和n的值，要求计算f(n)的

值。

说明：若输入样例为1 2 10，则输出为5。

【数据规模】

20%的数据，n≤1,000

40%的数据，n≤100,000

100%的数据，n≤100,000,000

【输入格式】

输入文件(sequence.in)仅一行包含3个整数A，B和n，其中(1≤ A, B ≤1000, 1 ≤n≤100,000,000)。

【输出格式】

输出文件(sequence.out)仅一行，一个整数，即f(n)的值。

Sample Input

1 1 3

Sample Output

2

【题目链接】:http://noi.qz5z.com/viewtask.asp?id=t084

【题解】



考虑f[i-1]和f[i]

f[i-1]有7种可能,f[i]也有7种可能;

而一旦出现了{f[i-1],f[i]}这样的有序对,之前出现过的情况;

那么就出现了循环节.(因为f[i-1],f[i]和之前的某一刻相同了,那么f[i+1]肯定也和前面的某一刻相同.至此变成循环的了);

大概是某种理论什么的吧.

最后一定又会出现{f[i-1],f[i]}={1,1}的情况;

那么处理出这个循环节即1..i-2为一个循环;

最后取模输出一下就好;

(也比较好想到和循环节有关啦)

(只是最后一定都能得到{1,1}吗,有没有可能最后到了另外一个循环节里面?)

(是不是和AX+BY这种变化本身有关,是线性的,所以最后又能回来?)



【完整代码】

#include <cstdio>
#define rep1(i,x,y) for (int i = x;i <= y;i++)
#define rei(x) scanf("%d",&x)

int n,a,b,r =0;
int f[100000];

int main()
{
    rei(a);rei(b);rei(n);
    f[1] = 1;f[2] = 1;
    rep1(i,3,50000)
    {
        f[i] = (a*f[i-1]+b*f[i-2])%7;
        if (f[i]==1 && f[i-1]==1)
        {
            r = i-2;
            break;
        }
    }
    f[0] = f[r];
    printf("%d\n",f[n%r]);
    return 0;
}