【t096】树的序号

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【问题描述】

我们可以用下面的方案给二叉树标号：

空树的序号为0。

只有一个根结点的树序号为1。

所有包含m个结点的二叉树的序号一定比任何一个包含m+1个结点的二叉树的序号 小。

任何一棵二叉树有m个结点，若它的序号为n，其左子树序号为L，右子树序号为R，

则所有序号大于n且有m个结点的二叉树必满足下列条件之一：

——左子树序号大于L；

——左子树序号等于L且右子树序号大于R；

前5棵二叉树的形状如下：



你的任务就是对给定的序号，输出该序号所对应的二叉树。

【输入格式】

输入文件包含多组数据，每个数据只有一个单独的整数n(1<=n<=500,000,000)。当n=0

时表示输入文件结束，但你不必输出n=0时的空树。

【输出格式】

对每个数据产生一个输出，每个数据仅输出一行，表示对应序号的树。 输出树时使用下列格式：

一棵树若没有子树则输出根：X。

一棵树有左子树L和右子树R应当输出(L’)X(R’)，L’和R’为序号L和R对应的二叉树。当然，若L=0，则输出X(R’)；若R=0，

则输出(L’)X。

Sample Input

1

20

31117532

Sample Output

X

((X)X(X))X (X(X(((X(X))X(X))X(X))))X(((X((X)X((X)X)))X)X)

【题目链接】:http://noi.qz5z.com/viewtask.asp?id=t096

【题意】

【题解】



用卡特兰数(其实就是个递推)来计数;

具体实现及讲解看代码的注释(写得很详细了)



【完整代码】

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define LL long long
#define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define rei(x) scanf("%d",&x)
#define rel(x) scanf("%lld",&x)
#define ref(x) scanf("%lf",&x)

typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<LL,LL> pll;

const int dx[9] = {0,1,-1,0,0,-1,-1,1,1};
const int dy[9] = {0,0,0,-1,1,-1,1,-1,1};
const double pi = acos(-1.0);
const int N = 110;

int n,top,l[N],r[N];
LL f[N];

void init()
{
    rep1(i,0,N-1)
        f[i] = l[i] = r[i] = 0;
}

void dfs(int x,int numjd,int rest)
{//x是当前子树的根节点
    //numjd是这个子树应该有的节点个数
    //rest是离目标编号的差
    int k = -1;
    LL d = 0;
    while (d<rest)//枚举左子树有多少个节点
    {
        k++;
        d+=f[k]*f[numjd-k-1];//递增k个节点可以增加的编号数
    }
    d = rest-(d-f[k]*f[numjd-k-1]);//确定左子树应该有k个节点
    //然后右子树有numjd-k-1个节点
    int numl = (d-1)/(f[numjd-k-1]) + 1;//右子树有numjd-k-1个节点的时候,对应的
    //左子树k个节点,左子树需要多少个不同的k节点的子树,也即左子树的编号还要递增多少
    int numr = d-(numl-1)*f[numjd-k-1];
    //左子树递增了那么多编号之后,右子树满的有numl-1个,然后还要再递增编号numr个
    //这里是优先递增右子树的
    //因为左子树的权比较大
    if (k>0)
    {
        top++;l[x] = top;
        dfs(top,k,numl);//左子树确定了节点个数为k个,然后还需要递增numl个
    }
    if (numjd-k-1>0)
    {
        top++,r[x] = top;
        dfs(top,numjd-k-1,numr);//右子树确定了节点个数为numjd-k-1个,还需要递增numr个
    }
}

void get_ans()
{
    int k = 1;
    f[0] = 1,f[1]=1;
    LL tot = 2;
    while (tot<n)//先用递推(是卡特兰数吧)
    {//推出这个编号的树它的节点个数k
        k++;
        f[k] = 0;
        rep1(i,0,k-1)
            f[k]+=f[i]*f[k-i-1];
        tot+=f[k];
    }
    tot = n-(tot-f[k]);//tot最后就是这个节点个数的对应的树是第几个树
    top = 1;
    dfs(1,k,tot);//节点的个数为k个,然后需要再递增编号tot次
}

void pri(int x)
{
    if (l[x])
    {
        putchar('(');
        pri(l[x]);
        putchar(')');
    }
    putchar('X');
    if (r[x])
    {
        putchar('(');
        pri(r[x]);
        putchar(')');
    }
}

int main()
{
    //freopen("F:\\rush.txt","r",stdin);
    while (~scanf("%d",&n))
    {
        n++;//n一开始递增1,只是为了方便后续处理,不然不好确定是t个节点的第几棵树
        init();
        if (n==1) break;
        get_ans();
        pri(1);
        puts("");
    }
    //printf("\n%.2lf sec \n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
    return 0;
}