TMOOC 1969 开锁

update on 2020.2.28 时隔近日重新想这道题，其实复杂度正确的解法是 可持久化 01 Trie。

考虑对于每一个 \(a[i]\)，考虑能将它作为最大值的最大包容区间 \([l, r]\) 在这个里面找一个 \(x\) 使亦或值最大，这显然是可持久化 01 Trie 的标准操作

总复杂度 \(O(N * 32)\)

题目描述

（时间限制：1000ms 内存限制：51200KB）

小明经过千辛万苦，终于来到了 小韩隆的门前。但是小韩隆早有防备，将自己的门锁换成了密码锁。密码锁上有 \(n\) 个数字和一个输入装置。这n个数字是小韩隆刻在锁上的，看来需要解谜了。小明知道小韩隆十分喜欢异或，于是他猜想，这个装置应该是由两个数异或而成。通过小弟们对邻居的询问，小明知道了这个密码是由如下方法构造出的：从$ n $个数字中任选一段数字 \(I\) 到 \(r\)，从其中任选一个数$ X \(，将这一段数的最大值与\) x \(异或起来得到y。锁的密码就是所有\) y \(值中的最大值。小明冥思苦想了几个小时，终于发现：因为\) l $、 $r $、 \(x\) 都是他自己选的，所以得到的y值会有很多个。由于小明受到NOIP的打击，十分厌恶“大力出奇迹”，他不想再一个一个试密码。现在他找到了作为小弟的你，想要你告诉他锁的密码是多少。

但是小明没有算到的是，小小明来到了小韩隆家做客，他改变了密码锁的密码。现在密码是这样构造的：从 \(n\) 个数字中任选一段数字 \(I\) 到 \(r\) ，从其中任选一个数 \(X\) ，将这一段数的次大值与 \(x\) 异或起来得到 \(y\) 。锁的密码就是所有 \(y\) 值中的最大值。因为你十分讨厌小明，不想让他大力出这个密码，所以你要算出小小明改完之后，这个锁的密码是多少，方便误导小明。

输入样例

5
9 2 1 4 7

输出样例

14

样例解释

第一个样例\(l\)=1,\(r\)=5，选取的\(x\)为9，密码为7^9=14。

数据范围

对于40%的数据：\(n\)<=5000。

对于100%的数据：1<=\(n\)<=50000,1<=\(a[i]\)<=10^9，保证\(a[i]\)两两不同。

思路

设\([i][j][0]\)为从i_{j的最大值、$f[i][j][1]$为从i}j的次大值。

那么，对于任意i~j,a[i]来说，

1. 如果\(a[i]>f[i][j-1][0]\)，那么\(f[i][j][1]=f[i][j-1][0]\)、\(f[i][j][0]=a[i]\)（顺位下沿），可以异或的y值为\(a[i]\) xor \(a[i...j-1]\)。
2. 否则如果\(a[i]>f[i][j-1][1]\)，那么\(f[i][j][1]=a[i]\)（替换次大），可以异或的y值为\(a[i]\) xor \(a[i...j-1]\)。
3. 否则，那么\(f[i][j][0]=f[i][j-1][0]\)、\(f[i][j][1]=f[i][j-1][1]\)，可以异或的y值为\(f[i][j][1]\) xor \(a[i]\)（剩下的异或已经处理一遍了）。

但是，这道题N的范围是50000，开\(f[50000][50000][2]\)空间肯定会炸。

考虑到第二维度的值只是当前处理的j，可以使用滚动数组降维。

设\(f[i][0]\)为从i_{(当前的j)的最大值、$f[i][1]$为从i}(当前的j)的次大值。既可解决空间不足的问题。

参考代码

水过了。

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int n,a[10001],f[10001][2],ans;
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<i;j++){
			if(a[i]>f[j][0]){
				f[j][1]=f[j][0];
				f[j][0]=a[i];
				for(int k=j;k<i;k++)ans=ans>(a[k]^a[i])?ans:a[k]^a[i];
			}else if(a[i]>f[j][1]){
				f[j][1]=a[i];
				for(int k=j;k<i;k++)ans=ans>(a[k]^a[i])?ans:a[k]^a[i];
			}else{
				ans=ans>(f[j][1]^a[i])?ans:(f[j][1]^a[i]);
			}
		}
	}
	printf("%d",ans);
}